Rozszerzenie cosinusa w szereg Laurenta. Seria Laurenta wyodrębniła punkty osobliwe i ich klasyfikację

Rangi Taylora służą Skuteczne środki do badania funkcji analitycznych w okręgu zol Do badania funkcji analitycznych w dziedzinie pierścieniowej okazuje się, że można skonstruować rozwinięcia w potęgi dodatnie i ujemne (z - zq) w postaci uogólniającej rozwinięcia Taylora. Szereg (1), rozumiany jako suma dwóch szeregów, nazywany jest szeregiem Laurenta. Jest oczywiste, że obszar zbieżności szeregu (1) jest częścią wspólną obszarów zbieżności każdego szeregu (2). Znajdźmy ją. Obszar zbieżności pierwszego szeregu to okrąg, którego promień wyznacza wzór Cauchy'ego-Hadamarda.W okręgu zbieżności szereg (3) zbiega się do funkcji analitycznej, a w każdym okręgu o mniejszym promieniu zbiega się absolutnie i jednolicie. Drugi szereg jest szeregiem potęgowym względem zmiennej.Szereg (5) zbiega się w obrębie swojego koła zbieżności do funkcji analitycznej zmiennej zespolonej m-*oo, a w dowolnym okręgu o mniejszym promieniu zbiega się bezwzględnie i jednostajnie, co oznacza, że ​​obszar zbieżności szeregów (4) jest zewnętrzną częścią okręgu - Jeżeli zatem istnieje wspólny obszar zbieżności szeregów (3) i (4) - pierścień kołowy, w którym szereg (1) zbiega się do funkcji analitycznej. Co więcej, w dowolnym pierścieniu zbiega się absolutnie i równomiernie. Przykład 1. Wyznacz obszar zbieżności rad szeregu Laurenta Izolowane punkty osobliwe i ich klasyfikacja M Obszar zbieżności pierwszego rzędu to zewnętrzna część okręgu, a obszar zbieżności drugiego rzędu to wewnątrz okręgu Zatem, Tej serii zbiega się w cola'o Twierdzenie 15. Dowolna funkcja f(z), jednowartościowa i apolityczna w pierścieniu kołowym, może być przedstawiona w tym pierścieniu jako suma szeregu zbieżnego, którego współczynniki Cn są jednoznacznie określone i obliczone zgodnie do wzorów, gdzie 7p jest kołem o promieniu m. Ustalmy R wewnątrz pierścienia dowolny punkt z. Skonstruujmy okręgi o środkach w punkcie r, których promienie spełniają nierówności i rozważmy nowy pierścień.Korzystając z twierdzenia całkowego Cauchy'ego dla dziedziny wielokrotnie połączonej, mamy Przekształcamy oddzielnie każdą całkę w sumie (8). Dla wszystkich punktów £ na okręgu 7d* spełniona jest relacja desumowa jednostajnie zbieżnego szeregu 1 1. Dlatego ułamek ^ można przedstawić w vi- / "/ Mnożąc obie części przez funkcję ciągłą (O i wykonując całkując wyrazy po okręgu, otrzymujemy, że transformację drugiej całki przeprowadzamy nieco inaczej. Dla wszystkich punktów £ na okręgu i> zależność zachodzi. Zatem ułamek ^ można przedstawić jako sumę szereg jednostajnie zbieżny. Mnożąc obie strony przez funkcję ciągłą) i całkując wzdłużnie po okręgu 7/, otrzymujemy, że całki we wzorach (10) i (12) są funkcjami analitycznymi w pierścieniu kołowym. Zatem, zgodnie z wzorem Cauchy'ego twierdzenia, że ​​wartości odpowiednich całek nie ulegną zmianie, jeżeli koła 7/r i 7r/ zastąpimy dowolnym okręgiem. Pozwala nam to łączyć wzory (10) i (12) , Zastępując całki po prawej stronie wzór (8) z ich wyrażeniami odpowiednio (9) i (11) otrzymujemy wymagane rozwinięcie.Ponieważ z jest dowolnym punktem pierścienia, wynika z tego, że szereg (14) w każdym miejscu zbiega się do funkcji f(z) tego pierścienia, a w dowolnym pierścieniu szereg zbiega się absolutnie i jednostajnie do tej funkcji. Udowodnimy teraz, że rozkład postaci (6) jest jedyny. Załóżmy, że istnieje jeszcze jedno rozwinięcie, wtedy wszędzie wewnątrz pierścienia R będziemy mieli Na okręgu szereg (15) zbiegają się jednostajnie. Pomnóżmy obie strony równości (gdzie m jest ustaloną liczbą całkowitą i scałkujmy oba szeregi wyraz po wyrazie. W rezultacie otrzymujemy po lewej stronie, a po prawej - Sch. Zatem (4, = St. Ponieważ m jest dowolną liczbą, ostatnia równość świadczy o jednoznaczności rozwinięcia Szereg (6), którego współczynniki obliczamy ze wzorów (7), nazywamy szeregiem Laurenta funkcji f(z) w pierścieniu. zbiór wyrazów tego szeregu o potęgach nieujemnych nazywa się regularną częścią szeregu Laurenta, a ujemnych jego częścią główną.Wzory ( 7) na współczynniki szeregu Laurenta są rzadko stosowane w praktyce, ponieważ z reguły wymagają uciążliwych obliczeń. Zwykle, jeśli to możliwe, wykorzystuje się gotowe rozszerzenia Taylora funkcje elementarne. Ze względu na wyjątkowość rozkładu każda metoda prawna prowadzi do tego samego rezultatu. Przykład 2. Rozważmy rozwinięcia funkcji w szereg Laurenta w różnych obszarach, zakładając, że Fuiscia /(r) ma dwa punkty osobliwe: . W rezultacie istnieją trzy obszary pierścieniowe, których środek znajduje się w punkcie r = 0. W każdym z nich funkcja f(r) ma charakter analityczny: a) okrąg jest pierścieniem, zewnętrzną częścią koła (ryc. 27). Znajdźmy rozwinięcia Laurenta funkcji /(z) w każdym z tych obszarów. Przedstawmy /(z) jako sumę ułamków elementarnych a) Okrąg Przekształcamy relację (16) w następujący sposób. Korzystając ze wzoru na sumę wyrazów ciągu geometrycznego otrzymujemy. Znalezione rozwinięcia podstawiamy do wzoru (17) : To rozwinięcie jest szeregiem Taylora funkcji /(z). b) Pierścień dla funkcji -r pozostaje w tym pierścieniu zbieżny, ponieważ Seria (19) dla funkcji j^j dla |z| > 1 jest rozbieżny. Dlatego przekształcamy funkcję /(z) w następujący sposób: ponownie stosując wzór (19) otrzymujemy, że Ten szereg jest zbieżny dla. Podstawiając rozwinięcia (18) i (21) do zależności (20) otrzymujemy c) Zewnętrzną część okręgu dla funkcji -z dla |z| > 2 rozbieżności i szereg (21) dla funkcji- Przedstawmy funkcję f(z) w postaci: / Korzystając ze wzorów (18) i (19) otrzymujemy OR 1 Z tego przykładu wynika, że ​​dla tej samej funkcji f(z ) rozwinięcie Laurenta, ogólnie rzecz biorąc, ma różnego rodzaju dla różnych pierścieni. Przykład 3. Znajdź rozwinięcie 8. szeregu Laurenta funkcji Szereg Laurenta Izolowane punkty osobliwe i ich klasyfikacja w dziedzinie pierścienia A Reprezentację funkcji f(z) wykorzystujemy w następującej postaci: i przekształcamy drugi wyraz Za pomocą wzór na sumę wyrazów ciągu geometrycznego otrzymujemy Podstawiając znalezione wyrażenia do wzoru (22) otrzymujemy Przykład 4. Rozwiń funkcję w szereg Laurenta w punkcie zq = 0. Dla dowolnego kompleksu mamy Put This rozwinięcie obowiązuje dla dowolnego punktu z Ф 0. In w tym przypadku obszar pierścieniowy reprezentuje całą płaszczyznę zespoloną z jednym wyrzuconym punktem z - 0. Obszar ten można zdefiniować za pomocą następującej zależności: Funkcja ta jest analityczna w obszarze Ze wzorów (13) na współczynniki szeregu Laurenta, korzystając z tego samego rozumując jak w poprzednim akapicie, można otrzymać nierówności Kouiw. jeśli funkcja f(z) jest ograniczona na okręgu, gdzie M jest stałą), to izolowane punkty osobliwe Punkt zo nazywany jest izolowanym punktem osobliwym funkcji f(z), jeżeli punkt jest w sąsiedztwie pierścienia ( zbiór ten nazywany jest czasami przebitym otoczeniem punktu 2o), dla którego funkcja f(z) jest jednoznaczna i analityczna. W samym punkcie zo funkcja jest albo niezdefiniowana, albo niejednoznaczna i analityczna. W zależności od zachowania funkcji /(r) przy dochodzeniu do punktu zo wyróżnia się trzy rodzaje punktów osobliwych. Mówi się, że izolowany punkt osobliwy jest: 1) usuwalny, jeśli istnieje punkt skończony, 2) pmusach, jeśli 3) jest zasadniczo punktem osobliwym, jeśli funkcja f(z) nie ma granicy w. Typ izolowanego punktu osobliwego jest ściśle powiązany z charakter rozwinięcia Laurenta funkcji przez przebity środek . Twierdzenie 16. Izolowany punkt osobliwy z0 funkcji f(z) jest usuwalnym punktem osobliwym wtedy i tylko wtedy, gdy rozwinięcie Laurenta funkcji f(z) w sąsiedztwie punktu zo nie zawiera części głównej, tj. ma postać Niech zo będzie usuwalnym punktem osobliwym. Zatem istnieje skończona funkcja f(z) ograniczona w prokologicznym sąsiedztwie punktu z. Zapisujemy na mocy nierówności Cauchy'ego. Ponieważ p można wybrać jako dowolnie małe, to wszystkie współczynniki o potęgach ujemnych (z - 20) są równe zeru: I odwrotnie, niech rozwinięcie Laurenta funkcji /(r) w sąsiedztwie punktu zq zawiera tylko część właściwą, czyli ma postać (23), a zatem jest Taylora. Łatwo zauważyć, że dla z -* z0 funkcja /(z) ma wartość graniczną: Twierdzenie 17. Izolowany punkt osobliwy zq funkcji f(z) jest usuwalny wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja J(z) jest ograniczony w jakimś przebitym sąsiedztwie punktu zq, Zgmechai nie. Niech r będzie usuwalnym punktem osobliwym funkcji /(r). Zakładając, że funkcja /(r) jest analityczna w pewnym okręgu ze środkiem w punkcie r. To określa nazwę punktu - usuwalny. Twierdzenie 18. Izolowany punkt osobliwy zq funkcji f(z) jest biegunem wtedy i tylko wtedy, gdy główna część rozwinięcia Laurenta funkcji f(z) w sąsiedztwie punktu zawiera liczbę skończoną (i dodatnią) terminów niezerowych, tj. e. ma postać 4 Niech z0 będzie biegunem. Od tego momentu istnieje przebite otoczenie punktu z0, w którym funkcja f(z) jest analityczna i niezerowa. Następnie w tym sąsiedztwie zdefiniowana jest funkcja analityczna i dlatego punkt zq jest usuwalnym punktem osobliwym (zero) funkcji lub gdzie h(z) jest funkcją analityczną, h(z0) Φ 0. Następnie h(zo) Φ 0 jest również analityczne, to funkcja φ jest analityczna w sąsiedztwie punktu zq, a zatem skąd to otrzymujemy Załóżmy teraz, że funkcja f(z) ma rozwinięcie postaci (24) w przebitym sąsiedztwie punkt zо. Oznacza to, że w tym sąsiedztwie funkcja f(z) jest razem z funkcją analityczną. Dla funkcji g(z) obowiązuje rozwinięcie, z którego widać, że zq jest usuwalnym punktem osobliwym funkcji g(z) i istnieje. Wtedy funkcja w punkcie 0 ma tendencję do bycia biegunem funkcji. to kolejny prosty fakt. Punkt Zq jest biegunem funkcji f(z) wtedy i tylko wtedy, gdy funkcję g(z) = уй można rozszerzyć do funkcji analitycznej w sąsiedztwie punktu zq poprzez ustawienie g(z0) = 0. Rząd bieguna funkcji f(z) nazywa się rządem zerowym funkcji jfa. Poniższe stwierdzenie wynika z twierdzeń 16 i 18. Twierdzenie 19. Izolowany punkt osobliwy jest zasadniczo osobliwy wtedy i tylko wtedy, gdy główna część rozwinięcia Laurenta w przebitym sąsiedztwie tego punktu zawiera nieskończenie wiele niezerowych wyrazów. Przykład 5. Punkt osobliwy funkcji to zo = 0. Mamy izolowane punkty osobliwe szeregu Laurenta i ich klasyfikację. Zatem zo = O jest usuwalnym punktem osobliwym. Rozwinięcie funkcji /(z) w szereg Laurenta w pobliżu punktu zerowego zawiera tylko poprawną część: Przykład 7. /(z) = Punkt osobliwy funkcji f(z) wynosi zq = 0. Rozważmy zachowanie tej funkcji na osi rzeczywistej i urojonej: na osi rzeczywistej w punkcie x 0, na osi urojonej. nie jest ani skończoną, ani nieskończoną granicą dla f(z) w z -* 0 nie istnieje. Oznacza to, że punkt r = 0 jest zasadniczo punktem osobliwym funkcji f(z). Znajdźmy rozwinięcie Laurenta funkcji f(z) w pobliżu punktu zerowego. Dla dowolnego kompleksu C mamy Set. Następnie rozwinięcie Laurenta zawiera nieskończoną liczbę wyrazów o ujemnych potęgach z.

Jeżeli funkcja f(x) ma pochodne wszystkich rzędów na pewnym przedziale zawierającym punkt a, to można do niej zastosować wzór Taylora:
,
Gdzie r n– tzw. wyraz resztowy lub reszta szeregu, można ją oszacować korzystając ze wzoru Lagrange’a:
, gdzie liczba x mieści się pomiędzy x i a.

f(x)=

w punkcie x 0 = Liczba elementów rzędu 3 4 5 6 7

Zasady wprowadzania funkcji:

Jeśli dla jakiejś wartości X r n→0 o godz N→∞, to w granicy wzór Taylora staje się zbieżny dla tej wartości Seria Taylora:
,
Zatem funkcję f(x) można rozwinąć w szereg Taylora w rozpatrywanym punkcie x, jeżeli:
1) posiada pochodne wszystkich rzędów;
2) skonstruowany szereg jest zbieżny w tym punkcie.

Gdy a = 0 otrzymujemy szereg zwany szeregiem Maclaurina:
,
Rozwinięcie najprostszych (elementarnych) funkcji w szereg Maclaurina:
Funkcje wykładnicze
, R=∞
Funkcje trygonometryczne
, R=∞
, R=∞
, (-π/2< x < π/2), R=π/2
Funkcja actgx nie rozwija się w potęgach x, ponieważ ctg0=∞
Funkcje hiperboliczne


Funkcje logarytmiczne
, -1 |C - Zq i dlatego szereg w (25.5) jest rozbieżny. Mamy

Stosując ponownie wzór (22.C) otrzymujemy

Dla wszystkich C € Г2 równości są spełnione

Od serii qi rz jest zbieżny, to na mocy kryterium jednolitego

Zbieżność Weierstrassa (Twierdzenie 20.2), szereg po prawej stronie (25.8) jest zbieżny na Г O absolutnie i jednostajnie w zmiennej?. Wygodnie jest nam przepisać ten szereg w nieco innej formie, wprowadzając nowy indeks sumowania Do równość Do = -P - 1, tj. P = -Do - 1. Kiedy P przyjmuje wartości 0,1,2,..., indeks Do przebiega przez wartości -1, -2, -3____

Pomnóżmy równość (25,9) przez f(P(co nie zakłóci munduru

zbieżność szeregu w (25.9) na okręgu Γr) i całkowanie wyraz po wyrazie wzdłuż Γr:

Indeks Do we wzorach (25.10), (25.11) można zastąpić dowolną inną literą; w szczególności możemy ponownie oznaczyć to przez n, gdzie P= - 1,- 2,... Podstawiając rozwinięcia (25.6) i (25.10) do (25.4) dochodzimy do równości (25.2). Funkcjonować. jest analityczny

(Z - zo)n+l

w pierścieniu g g 0 p, tak że r wówczas oba koła Ti i Гг można zastąpić kołem |С - zq = р. W tym przypadku równości (25.7) i (25.11) zostaną zapisane za pomocą jednego wzoru (25.3). Twierdzenie 25.3 zostało udowodnione.

Szereg (25.2) w potęgach całkowitych (z- -th) (zarówno dodatnie, jak i ujemne), których współczynniki są określone przez formę -

lam (25,3), nazywa się obok Laurenta Funkcje F z). Wiersz ^2 do n (z -

P=0

• - Zo)n zwany właściwa część i serial do n (z - zq) ty (pisz

Również do n( z - z o) n) - część główna Seria Laurenta (w miarę

Dokładny charakter nazw stanie się jasny później).

Przejdźmy teraz do kwestii jedyności ekspansji (25.2).

Twierdzenie 25.2 (twierdzenie o jednoznaczności dla rozwinięcia funkcji w szeregu Laurenta). Wpuść jakiś pierścień V= (g z - zo (25,2). Następnie f (z) Jest

funkcja analityczna w V i współczynniki z n, n = 0, ±1, ±2.... rozwinięcia są określone jednoznacznie przez wzory (25.3).

Dowód. Ponieważ zgodnie z warunkami twierdzenia szereg (25.2) jest zbieżny V, wówczas oba szeregi zbiegają się po prawej stronie (25.1) kompozycji

seria leżąca (25,2). Pierwsza to rząd Y1 °n(z ~ z o) n ~ Jest

zwykły szereg potęgowy zbiegający się w pewnym okręgu ze środkiem Zo i odbiegające poza ten okrąg. Ponieważ szereg ten jest zbieżny w V, a następnie cały pierścień V leży w kręgu zbieżności. Od kwoty

szereg potęgowy jest zatem analityczny w kręgu zbieżności (własność 21.6).

suma serii Si (.g). do n (z - zq) h jest analityczny V. Według nieruchomości 21.5,

szereg ten zbiega się równomiernie w dowolnym okręgu z- zq R"

ale liczba c n(z - zo) n - Dokonajmy zmiany zmiennych poprzez wstawienie Z=

=-, Do= - n. Wtedy badany szereg przyjmie postać V C-uZ k. Ten

z ~ z o k=l

szereg jest szeregiem potęgowym względem zmiennej Z Centrum Zo= 0: zbiega się w pewnym okręgu Z R "o ten szereg jest zbieżny jednostajnie (właściwość 21.5). Wróćmy teraz do zmiennej z. Następnie zakreśl

/?o przejdzie do zbioru --- z - zo >1 /Ro, te. na zewnątrz okręgu o środku zq o promieniu 1/Lo- Zatem szereg

^2 do n (z -Zo)n zbiega się o godz |z - Zo > l/Ro do funkcji analitycznej P=-1

5-2(g) i odbiega w punkcie 5-2(g). z - zo 1 /Rq. Ponieważ szereg ten jest zbieżny w V, potem cały pierścień V leży w obszarze konwergencji z-Zo > 1/Yao tego rzędu. Jednocześnie w okolicy z- zo > 1 //?o s N® Ale zbieżność będzie jednolita. W szczególności rad zbiega się równomiernie w |z - zo > g", Jeśli g" > G.

Zatem oba szeregi po prawej stronie (25.1) zbiegają się w pierścieniu V a ich sumy Si(z) i S-j(z) są analityczne V. Zatem funkcja f(z) = Si (z) + 4* S-z(z) analityczne w V.

Pokażmy, że współczynniki s rozwinięcia są określane jednoznacznie za pomocą wzorów (25.3). Weźmy okrąg Г = (z - zo= /?), gdzie d Podsumujmy liczby G" I R" aby d Oba rzędy po prawej stronie (25.1) równomiernie zbiegają się w pierścieniu V= = (z; z - Zo R1)- Oznacza to rząd

zbiega się w nim równomiernie. Właściwość ta pozostanie po pomnożeniu obu stron przez dowolną potęgę (z - zo) ~ n ~ l , n = О, ±1, ±2_____, ponieważ każdy z tych stopni jest funkcją granicy

ceniony w V(patrz nota 20.5):

Na mocy Twierdzenia 20.4 powstały szereg można całkować wyraz po wyrazie wzdłuż Γ:

Skorzystajmy teraz z równości (15.7):

zgodnie z którym wszystkie całki po lewej stronie (25.12) są równe zeru, z wyjątkiem jedności, dla której k - p - 1 = - 1 (tzn. Do = yy) i co jest równe 2tgg. Dlatego w sumie z (25.12) pozostaje tylko jeden wyraz k = n, i otrzymujemy

co jest równoważne równości (25.3). Twierdzenie 25.2 zostało udowodnione.

W dowodzie Twierdzenia 25.2 ustaliliśmy, że szereg (25.2) sprowadza się do sumy dwóch szeregów potęgowych, z których jeden zbiega się wewnątrz okręgu o środku zq, a drugi poza okręgiem o mniejszym promieniu i tym samym środku (jeśli promień drugiego okręgu byłby większy, to zbiór zbieżności szeregów (25.2) byłby pusty). Oznaczmy promienie tych okręgów R i G odpowiednio (nie podano tutaj, że liczby te pokrywają się z zewnętrznym i wewnętrznym promieniem pierścienia V w Twierdzeniach 25.1, 25.2). Z tego oraz z własności szeregów potęgowych (patrz §21) wynikają następujące własności szeregów (25.2).

Właściwość 25.3. Zbiór zbieżny szeregu (25.2) to pierścień V= (z z - zq R) z możliwością dodania niektórych lub wszystkich punktów na jego granicy. W tym przypadku możliwe są przypadki r = 0 i R = oo.

Właściwość 25.4. Suma 5(g) wiersz (25.2) jest funkcją analityczną wewnątrz pierścienia V.

Właściwość 25.5. Wiersz (25.2) można całkować i różnicować wyraz po wyrazie wewnątrz pierścienia V dowolną liczbę jhm. Powstały szereg ma ten sam pierścień zbieżności V, Co

i oryginalna seria (25.2); Zbieżność w punktach granicznych może nie zostać zachowana.

Właściwość 25.6. Jeśli V = (np Zo jest pierścieniem zbieżności szeregu Laurenta funkcji f(z) i 0

Dowód. Seria funkcji Laurenta/ (z) jest zjednoczona oo 1

połączenie dwóch szeregów potęgowych °n(z ~ z o) n i c_*Z*, gdzie Z =-.

n=0 k-z-Z0

Koła zbieżności tych szeregów to z- 2o| R i z - zo = R i = 1/g (tj. z - zo = g) istnieją pojedyncze punkty

Funkcje Si(z) = c n(z - Zq) ty i S-2 (z) = Cn(z-z 0) rz odpowiednio

Właściwie. W związku z tym w okręgach tych znajdują się punkty osobliwe funkcji F z)= Si (g) + S-2 (z), co było do okazania

Aby znaleźć rozwinięcia w szereg Laurenta, powszechnie stosuje się te same techniki, co w przypadku rozwinięć w szereg Taylora, a mianowicie metodę podstawienia, całkowanie wyraz po wyrazie i różniczkowanie szeregu itp.

Przykład 25.7. Znajdź wszystkie rozwinięcia Laurenta funkcji

/( g) = f w potęgach (z - 1).

" z(z - 1)

Rozwiązanie. Dokonajmy zmiany zmiennej: w = z- 1, tj. z = w +

1. Po dokonaniu podstawienia otrzymujemy funkcję r/(rc) = . w. . Raz-

(w+ 1)wj

wynikowy ułamek wstaw do sumy najprostszych ułamków (więcej informacji o rozwinięciu na sumę najprostszych ułamków znajdziesz w §32. Rozwinięcia będziemy szukać w postaci

Gdzie A I D liczby, które próbujesz znaleźć. W tym celu sprowadzamy ułamki po prawej stronie do wspólnego mianownika:

Wynika, że w + 2 = A(w + 1) + Bw, a równość obowiązuje dla wszystkich wartości w, w tym w = 0 i w =- 1 (wynika to z ciągłości lewicy i właściwe części ta równość). Na w = 0 otrzymujemy 2 = 0,4, tj. A= 2; zastępowanie w =-1, mamy 1 = -B, te. W= - 1. Zatem

Funkcja ta ma punkty osobliwe w = 0, w = - 1, a zatem apolityczny w pierścieniach V’i = (0 w

Na w> 1 wynikowy szereg przestaje być zbieżny. Dlatego, aby rozwinąć funkcję g(w) w pierścieniu U 2 ułamek należy przeliczyć:

Kiedy |w| > 1 będzie -

zamiast z włóż to l/w. Wykonując wskazane podstawienia, otrzymujemy

(zrobiliśmy wymianę k = - (rzecz+ 1) i użyłem równości (- 1)* = (-I) - *). Wracając do zmiennej zaraz wracam+ 1, otrzymujemy wymagane rozwinięcia funkcji F z):

nowy członek - - (wszystkie pozostałe współczynniki części głównej są równe

jesteśmy zerem), a szereg w (25.13) podaje poprawną część rozwinięcia. Przy 1 z - 1| z - 1| = 0 o promieniu 0u|r-1| = 1 o promieniu 1) zawierają punkty osobliwe funkcji F z).

Jak wstawić wzory matematyczne na stronę internetową?

Jeśli kiedykolwiek będziesz musiał dodać jedną lub dwie formuły matematyczne do strony internetowej, najłatwiej to zrobić w sposób opisany w artykule: formuły matematyczne można łatwo wstawić na stronę w postaci obrazów, które są automatycznie generowane przez Wolfram Alpha . Oprócz prostoty, to metoda uniwersalna pomoże poprawić widoczność strony internetowej Wyszukiwarki. Działa od dawna (i myślę, że będzie działać wiecznie), ale jest już moralnie przestarzały.

Jeśli regularnie korzystasz z formuł matematycznych na swojej stronie, to polecam Ci skorzystanie z MathJax – specjalnej biblioteki JavaScript, która wyświetla notację matematyczną w przeglądarkach internetowych przy użyciu znaczników MathML, LaTeX lub ASCIIMathML.

Istnieją dwa sposoby rozpoczęcia korzystania z MathJax: (1) za pomocą prostego kodu możesz szybko podłączyć skrypt MathJax do swojej witryny, co odpowiedni moment automatycznie ładuje się ze zdalnego serwera (lista serwerów); (2) pobierz skrypt MathJax ze zdalnego serwera na swój serwer i podłącz go do wszystkich stron swojej witryny. Druga metoda - bardziej złożona i czasochłonna - przyspieszy ładowanie stron Twojej witryny, a jeśli z jakiegoś powodu nadrzędny serwer MathJax stanie się chwilowo niedostępny, nie będzie to miało żadnego wpływu na Twoją witrynę. Pomimo tych zalet wybrałem pierwszą metodę, ponieważ jest prostsza, szybsza i nie wymaga umiejętności technicznych. Podążaj za moim przykładem, a już za 5 minut będziesz mógł korzystać ze wszystkich funkcji MathJax na swojej stronie.

Możesz połączyć skrypt biblioteki MathJax ze zdalnym serwerem, korzystając z dwóch opcji kodu pobranych z głównej witryny MathJax lub ze strony dokumentacji:

Jedną z tych opcji kodu należy skopiować i wkleić do kodu swojej strony internetowej, najlepiej pomiędzy tagami i/lub bezpośrednio po tagu. Według pierwszej opcji MathJax ładuje się szybciej i mniej spowalnia stronę. Ale druga opcja automatycznie monitoruje i ładuje najnowsze wersje MathJax. Jeśli wstawisz pierwszy kod, będzie on wymagał okresowej aktualizacji. Jeśli wstawisz drugi kod, strony będą ładować się wolniej, ale nie będziesz musiał stale monitorować aktualizacji MathJax.

Najłatwiej połączyć się z MathJax w Bloggerze lub WordPressie: w panelu sterowania witryny dodaj widżet przeznaczony do wstawiania kodu JavaScript innej firmy, skopiuj do niego pierwszą lub drugą wersję kodu pobierania przedstawionego powyżej i umieść widżet bliżej na początek szablonu (nawiasem mówiąc, nie jest to wcale konieczne, ponieważ skrypt MathJax jest ładowany asynchronicznie). To wszystko. Teraz poznaj składnię znaczników MathML, LaTeX i ASCIIMathML i możesz wstawiać formuły matematyczne na stronach internetowych swojej witryny.

Każdy fraktal jest zbudowany według pewna zasada, który jest stosowany sekwencyjnie nieograniczoną liczbę razy. Każdy taki moment nazywany jest iteracją.

Iteracyjny algorytm konstruowania gąbki Mengera jest dość prosty: oryginalny sześcian o boku 1 jest podzielony płaszczyznami równoległymi do jego ścian na 27 równych sześcianów. Usuwa się z niego jedną środkową kostkę i 6 sąsiadujących z nią kostek. Rezultatem jest zestaw składający się z pozostałych 20 mniejszych kostek. Robiąc to samo z każdą z tych kostek, otrzymamy zestaw składający się z 400 mniejszych kostek. Kontynuując ten proces w nieskończoność, otrzymujemy gąbkę Mengera.