गतिज ऊर्जा के बारे में प्रमेय. खुली लाइब्रेरी - शैक्षणिक जानकारी की खुली लाइब्रेरी गतिज ऊर्जा के बारे में प्रमेय का सूत्र

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संक्षिप्त समीक्षा

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किसी भौतिक बिंदु या बिंदु प्रणाली की यांत्रिक गति के परिवर्तन के दो मामले:

1. यांत्रिक गति को यांत्रिक गति के रूप में एक यांत्रिक प्रणाली से दूसरे में स्थानांतरित किया जाता है;
2. यांत्रिक गति पदार्थ की गति के दूसरे रूप (संभावित ऊर्जा, ऊष्मा, विद्युत आदि के रूप में) में बदल जाती है।

जब गति के किसी अन्य रूप में परिवर्तित हुए बिना यांत्रिक गति के परिवर्तन पर विचार किया जाता है, तो यांत्रिक गति का माप किसी भौतिक बिंदु या यांत्रिक प्रणाली के संवेग का वेक्टर होता है। इस मामले में बल का माप बल आवेग का वेक्टर है।

जब यांत्रिक गति पदार्थ की गति के दूसरे रूप में बदल जाती है, तो किसी भौतिक बिंदु या यांत्रिक प्रणाली की गतिज ऊर्जा यांत्रिक गति के माप के रूप में कार्य करती है। यांत्रिक गति को गति के दूसरे रूप में परिवर्तित करते समय बल की क्रिया का माप बल का कार्य है

गतिज ऊर्जा

गतिज ऊर्जा चलते समय किसी बाधा को दूर करने की शरीर की क्षमता है।

किसी भौतिक बिंदु की गतिज ऊर्जा

किसी भौतिक बिंदु की गतिज ऊर्जा एक अदिश राशि है जो बिंदु के द्रव्यमान और उसकी गति के वर्ग के आधे उत्पाद के बराबर होती है।

गतिज ऊर्जा:

• अनुवादात्मक और घूर्णी दोनों आंदोलनों की विशेषताएँ;
• सिस्टम के बिंदुओं की गति की दिशा पर निर्भर नहीं करता है और इन दिशाओं में परिवर्तन की विशेषता नहीं बताता है;
• आंतरिक और बाह्य दोनों शक्तियों की क्रिया को दर्शाता है।

एक यांत्रिक प्रणाली की गतिज ऊर्जा

सिस्टम की गतिज ऊर्जा सिस्टम के पिंडों की गतिज ऊर्जा के योग के बराबर होती है। गतिज ऊर्जा प्रणाली के पिंडों की गति के प्रकार पर निर्भर करती है।

विभिन्न प्रकार की गति के लिए किसी ठोस पिंड की गतिज ऊर्जा का निर्धारण।

स्थानांतरीय गति की गतिज ऊर्जा
स्थानांतरीय गति के दौरान, शरीर की गतिज ऊर्जा बराबर होती है टी=एमवी 2 /2.

स्थानांतरीय गति के दौरान किसी पिंड की जड़ता का माप द्रव्यमान है।

किसी पिंड की घूर्णी गति की गतिज ऊर्जा

किसी पिंड की घूर्णी गति के दौरान, गतिज ऊर्जा घूर्णन अक्ष के सापेक्ष पिंड की जड़ता के क्षण और उसके कोणीय वेग के वर्ग के आधे उत्पाद के बराबर होती है।

घूर्णी गति के दौरान किसी पिंड की जड़ता का माप जड़त्व आघूर्ण है।

किसी पिंड की गतिज ऊर्जा उसके घूमने की दिशा पर निर्भर नहीं करती है।

किसी पिंड की समतल-समानांतर गति की गतिज ऊर्जा

किसी पिंड की समतल-समानांतर गति के साथ, गतिज ऊर्जा बराबर होती है

बल का कार्य

बल का कार्य किसी गति के दौरान किसी पिंड पर बल की कार्रवाई को दर्शाता है और एक गतिमान बिंदु के वेग मापांक में परिवर्तन को निर्धारित करता है।

बल का प्राथमिक कार्य

किसी बल के प्राथमिक कार्य को एक अदिश राशि के रूप में परिभाषित किया जाता है जो बिंदु की गति की दिशा में निर्देशित प्रक्षेपवक्र के स्पर्शरेखा पर बल के प्रक्षेपण के उत्पाद के बराबर होती है, और इस दिशा में निर्देशित बिंदु के अनंतिम विस्थापन के बराबर होती है। स्पर्शरेखा

अंतिम विस्थापन पर बल द्वारा किया गया कार्य

किसी बल द्वारा अंतिम विस्थापन पर किया गया कार्य प्रारंभिक खंडों पर उसके कार्य के योग के बराबर होता है।

अंतिम विस्थापन एम 1 एम 0 पर एक बल का कार्य इस विस्थापन के साथ प्रारंभिक कार्य के अभिन्न अंग के बराबर है।

विस्थापन एम 1 एम 2 पर एक बल के कार्य को आकृति के क्षेत्र द्वारा दर्शाया गया है, जो भुज अक्ष, वक्र और बिंदु एम 1 और एम 0 के अनुरूप निर्देशांक द्वारा सीमित है।

एसआई प्रणाली में बल और गतिज ऊर्जा के कार्य के माप की इकाई 1 (जे) है।

बल के कार्य के बारे में प्रमेय

प्रमेय 1. किसी निश्चित विस्थापन पर परिणामी बल द्वारा किया गया कार्य उसी विस्थापन पर घटक बलों द्वारा किए गए कार्य के बीजगणितीय योग के बराबर होता है।

प्रमेय 2.परिणामी विस्थापन पर एक स्थिर बल द्वारा किया गया कार्य घटक विस्थापन पर इस बल द्वारा किए गए कार्य के बीजगणितीय योग के बराबर होता है।

शक्ति

शक्ति एक मात्रा है जो समय की प्रति इकाई बल के कार्य को निर्धारित करती है।

शक्ति माप की इकाई 1W = 1 J/s है।

बलों के कार्य का निर्धारण करने के मामले

आंतरिक शक्तियों का कार्य

किसी भी गति के दौरान किसी कठोर पिंड की आंतरिक शक्तियों द्वारा किए गए कार्य का योग शून्य होता है।

गुरुत्वाकर्षण का कार्य

लोचदार बल का कार्य

घर्षण बल का कार्य

घूमते हुए पिंड पर लगाए गए बलों का कार्य

एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमने वाले कठोर शरीर पर लागू बलों का प्रारंभिक कार्य घूर्णन की धुरी के सापेक्ष बाहरी बलों के मुख्य क्षण और घूर्णन के कोण में वृद्धि के उत्पाद के बराबर होता है।

रोलिंग प्रतिरोध

स्थिर सिलेंडर और विमान के संपर्क क्षेत्र में, संपर्क संपीड़न का स्थानीय विरूपण होता है, तनाव को अण्डाकार कानून के अनुसार वितरित किया जाता है, और इन तनावों के परिणामी एन की कार्रवाई की रेखा भार की कार्रवाई की रेखा के साथ मेल खाती है सिलेंडर पर बल Q. जब सिलेंडर लुढ़कता है, तो भार वितरण अधिकतम गति की ओर स्थानांतरित होने के साथ असममित हो जाता है। परिणामी N को रोलिंग घर्षण बल की भुजा - k की मात्रा से विस्थापित किया जाता है, जिसे रोलिंग घर्षण गुणांक भी कहा जाता है और इसकी लंबाई का आयाम (सेमी) होता है।

किसी भौतिक बिंदु की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन पर प्रमेय

एक निश्चित विस्थापन पर किसी भौतिक बिंदु की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन उसी विस्थापन पर बिंदु पर कार्यरत सभी बलों के बीजगणितीय योग के बराबर होता है।

एक यांत्रिक प्रणाली की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन पर प्रमेय

एक निश्चित विस्थापन पर एक यांत्रिक प्रणाली की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन उसी विस्थापन पर प्रणाली के भौतिक बिंदुओं पर कार्य करने वाले आंतरिक और बाह्य बलों के बीजगणितीय योग के बराबर होता है।

ठोस पिंड की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन पर प्रमेय

एक निश्चित विस्थापन पर एक कठोर पिंड (अपरिवर्तित प्रणाली) की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन उसी विस्थापन पर प्रणाली के बिंदुओं पर कार्य करने वाले बाहरी बलों के योग के बराबर होता है।

क्षमता

तंत्र में कार्य करने वाली शक्तियाँ

किसी तंत्र या मशीन पर लागू होने वाले बलों और बलों के जोड़े (क्षण) को समूहों में विभाजित किया जा सकता है:

1. ड्राइविंग बल और क्षण जो सकारात्मक कार्य करते हैं (ड्राइविंग लिंक पर लागू होते हैं, उदाहरण के लिए, आंतरिक दहन इंजन में पिस्टन पर गैस का दबाव)।

2. प्रतिरोध के बल और क्षण जो नकारात्मक कार्य करते हैं:

• उपयोगी प्रतिरोध (वे मशीन से आवश्यक कार्य करते हैं और संचालित लिंक पर लागू होते हैं, उदाहरण के लिए, मशीन द्वारा उठाए गए भार का प्रतिरोध),
• प्रतिरोध बल (उदाहरण के लिए, घर्षण बल, वायु प्रतिरोध, आदि)।

3. स्प्रिंग्स का गुरुत्वाकर्षण बल और लोचदार बल (सकारात्मक और नकारात्मक दोनों कार्य, जबकि पूर्ण चक्र के लिए कार्य शून्य है)।

4. शरीर या स्टैंड पर बाहर से लगाए गए बल और क्षण (नींव की प्रतिक्रिया, आदि), जो काम नहीं करते हैं।

5. गतिज युग्मों में कार्य करने वाली कड़ियों के बीच परस्पर क्रिया बल।

6. कड़ियों के द्रव्यमान और त्वरण के साथ गति के कारण होने वाली कड़ियों की जड़त्वीय शक्तियां सकारात्मक, नकारात्मक कार्य कर सकती हैं और कार्य नहीं कर सकती हैं।

तंत्रों में बलों का कार्य

जब मशीन स्थिर अवस्था में चलती है, तो इसकी गतिज ऊर्जा नहीं बदलती है और इस पर लागू ड्राइविंग बलों और प्रतिरोध बलों के काम का योग शून्य है।

मशीन को गति में स्थापित करने में खर्च किया गया कार्य उपयोगी और हानिकारक प्रतिरोधों पर काबू पाने में खर्च होता है।

तंत्र की दक्षता

स्थिर गति के दौरान यांत्रिक दक्षता मशीन के उपयोगी कार्य और मशीन को गति में स्थापित करने पर खर्च किए गए कार्य के अनुपात के बराबर होती है:

मशीन के तत्वों को श्रृंखला, समानांतर और मिश्रित रूप से जोड़ा जा सकता है।

श्रृंखला कनेक्शन में दक्षता

जब तंत्र श्रृंखला में जुड़े होते हैं, तो समग्र दक्षता किसी व्यक्तिगत तंत्र की सबसे कम दक्षता से कम होती है।

समानांतर कनेक्शन में दक्षता

जब तंत्र समानांतर में जुड़े होते हैं, तो समग्र दक्षता किसी व्यक्तिगत तंत्र की निम्नतम दक्षता से अधिक और उच्चतम दक्षता से कम होती है।

प्रारूप: पीडीएफ

भाषा: रूसी, यूक्रेनी

स्पर गियर का गणना उदाहरण
स्पर गियर की गणना का एक उदाहरण. सामग्री का चयन, अनुमेय तनाव की गणना, संपर्क और झुकने की ताकत की गणना की गई है।

बीम झुकने की समस्या को हल करने का एक उदाहरण
उदाहरण में, अनुप्रस्थ बलों और झुकने वाले क्षणों के आरेख बनाए गए, एक खतरनाक खंड पाया गया और एक आई-बीम का चयन किया गया। समस्या ने विभेदक निर्भरता का उपयोग करके आरेखों के निर्माण का विश्लेषण किया और बीम के विभिन्न क्रॉस सेक्शन का तुलनात्मक विश्लेषण किया।

शाफ्ट मरोड़ समस्या को हल करने का एक उदाहरण
कार्य किसी दिए गए व्यास, सामग्री और स्वीकार्य तनाव पर स्टील शाफ्ट की ताकत का परीक्षण करना है। समाधान के दौरान, टॉर्क, कतरनी तनाव और मोड़ कोण के आरेख बनाए जाते हैं। शाफ्ट के स्वयं के वजन को ध्यान में नहीं रखा जाता है

किसी छड़ के तनाव-संपीड़न की समस्या को हल करने का एक उदाहरण
कार्य निर्दिष्ट अनुमेय तनाव पर स्टील बार की ताकत का परीक्षण करना है। समाधान के दौरान, अनुदैर्ध्य बलों, सामान्य तनाव और विस्थापन के आरेख बनाए जाते हैं। छड़ के स्वयं के वजन को ध्यान में नहीं रखा जाता है

गतिज ऊर्जा के संरक्षण पर प्रमेय का अनुप्रयोग
किसी यांत्रिक प्रणाली की गतिज ऊर्जा के संरक्षण पर प्रमेय का उपयोग करके किसी समस्या को हल करने का एक उदाहरण

शरीर पर लागू सभी बलों का परिणामी कार्य शरीर की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।

यह प्रमेय न केवल किसी कठोर पिंड की स्थानांतरीय गति के लिए, बल्कि उसकी मनमानी गति के मामले में भी सत्य है।

केवल गतिमान पिंडों में ही गतिज ऊर्जा होती है, इसीलिए इसे गति की ऊर्जा कहा जाता है।

§ 8. रूढ़िवादी (संभावित) ताकतें।

रूढ़िवादी ताकतों का क्षेत्र

हार।

बल, जिनका कार्य उस पथ पर निर्भर नहीं करता जिसके साथ शरीर चला गया, बल्कि केवल शरीर की प्रारंभिक और अंतिम स्थिति से निर्धारित होता है, रूढ़िवादी (संभावित) बल कहलाते हैं।

हार।

बल क्षेत्र अंतरिक्ष का एक क्षेत्र है, जिसके प्रत्येक बिंदु पर वहां रखे किसी पिंड पर एक बल लगाया जाता है, जो अंतरिक्ष में एक बिंदु से दूसरे बिंदु पर स्वाभाविक रूप से बदलता रहता है।

हार।

वह क्षेत्र जो समय के साथ नहीं बदलता, स्थिर कहलाता है।

निम्नलिखित 3 कथनों को सिद्ध किया जा सकता है

1) किसी भी बंद रास्ते पर रूढ़िवादी बलों द्वारा किया गया कार्य 0 के बराबर होता है।

सबूत:

2) बलों का एक सजातीय क्षेत्र रूढ़िवादी है।

हार।

किसी क्षेत्र को सजातीय कहा जाता है यदि क्षेत्र के सभी बिंदुओं पर वहां रखे किसी पिंड पर कार्य करने वाले बल परिमाण और दिशा में समान हों।

सबूत:

3) केंद्रीय बलों का क्षेत्र, जिसमें बल का परिमाण केवल केंद्र की दूरी पर निर्भर करता है, रूढ़िवादी है।

हार।

केंद्रीय बलों का क्षेत्र एक बल क्षेत्र है, जिसके प्रत्येक बिंदु पर एक ही निश्चित बिंदु से गुजरने वाली रेखा के साथ निर्देशित एक बल - क्षेत्र का केंद्र - इसमें घूम रहे एक बिंदु पिंड पर कार्य करता है।

सामान्य स्थिति में, केंद्रीय बलों का ऐसा क्षेत्र रूढ़िवादी नहीं है। यदि, केंद्रीय बलों के क्षेत्र में, बल का परिमाण केवल बल क्षेत्र (O) के केंद्र की दूरी पर निर्भर करता है, अर्थात। , तो ऐसा क्षेत्र रूढ़िवादी (संभावित) है।

सबूत:

प्रतिअवकलन कहाँ है.

§ 9. संभावित ऊर्जा.

बल और स्थितिज ऊर्जा के बीच संबंध

रूढ़िवादी ताकतों के क्षेत्र में

आइए हम निर्देशांक की उत्पत्ति को रूढ़िवादी ताकतों के क्षेत्र के रूप में चुनें, यानी।

रूढ़िवादी ताकतों के क्षेत्र में किसी पिंड की संभावित ऊर्जा। यह फ़ंक्शन विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है (केवल निर्देशांक पर निर्भर करता है), क्योंकि रूढ़िवादी ताकतों का कार्य पथ के प्रकार पर निर्भर नहीं करता है।

आइए किसी पिंड को बिंदु 1 से बिंदु 2 तक ले जाने पर रूढ़िवादी बलों के क्षेत्र में एक संबंध खोजें।

रूढ़िवादी बलों का कार्य विपरीत संकेत के साथ संभावित ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर है।

रूढ़िवादी बलों के क्षेत्र के एक शरीर की संभावित ऊर्जा एक बल क्षेत्र की उपस्थिति के कारण होने वाली ऊर्जा है जो किसी बाहरी शरीर (निकायों) के साथ किसी दिए गए शरीर की एक निश्चित बातचीत के परिणामस्वरूप उत्पन्न होती है, जैसा कि वे कहते हैं, बल क्षेत्र बनाता है.

रूढ़िवादी बलों के क्षेत्र की संभावित ऊर्जा किसी पिंड की कार्य करने की क्षमता को दर्शाती है और संख्यात्मक रूप से शरीर को निर्देशांक की उत्पत्ति (या शून्य ऊर्जा वाले बिंदु) तक ले जाने के लिए रूढ़िवादी बलों के कार्य के बराबर होती है। यह शून्य स्तर की पसंद पर निर्भर करता है और नकारात्मक हो सकता है। किसी भी मामले में, और इसलिए प्राथमिक कार्य के लिए भी सच है, अर्थात। या, गति या प्रारंभिक विस्थापन की दिशा पर बल का प्रक्षेपण कहां है। इस तरह, । क्योंकि हम शरीर को किसी भी दिशा में घुमा सकते हैं, तो यह किसी भी दिशा के लिए सत्य है। एक मनमाना दिशा पर एक रूढ़िवादी बल का प्रक्षेपण विपरीत संकेत के साथ इस दिशा में संभावित ऊर्जा के व्युत्पन्न के बराबर है।

सदिशों के विस्तार को ध्यान में रखते हुए और आधार के संदर्भ में, हम इसे प्राप्त करते हैं

दूसरी ओर, गणितीय विश्लेषण से यह ज्ञात होता है कि कई चर वाले फ़ंक्शन का कुल अंतर तर्कों और तर्कों के अंतर के संबंध में आंशिक व्युत्पन्न के उत्पादों के योग के बराबर है, यानी। , जिसका अर्थ है संबंध से हमें प्राप्त होता है

इन संबंधों को अधिक संक्षिप्त रूप से लिखने के लिए, आप फ़ंक्शन ग्रेडिएंट की अवधारणा का उपयोग कर सकते हैं।

हार।

कुछ अदिश निर्देशांक फ़ंक्शन का ग्रेडिएंट एक वेक्टर होता है जिसके निर्देशांक इस फ़ंक्शन के संगत आंशिक व्युत्पन्न के बराबर होते हैं।

हमारे मामले में

हार।

एक समविभव सतह रूढ़िवादी बलों के क्षेत्र में बिंदुओं का ज्यामितीय स्थान है जिनकी संभावित ऊर्जा मान समान हैं, अर्थात। .

क्योंकि एक समविभव सतह की परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है कि इस सतह पर बिंदुओं के लिए, इसलिए, एक स्थिरांक के व्युत्पन्न के रूप में।

इस प्रकार, रूढ़िवादी बल हमेशा समविभव सतह के लंबवत होता है और संभावित ऊर्जा में कमी की दिशा में निर्देशित होता है। (पी 1 > पी 2 > पी 3).

§ 10. अंतःक्रिया की संभावित ऊर्जा।

रूढ़िवादी यांत्रिक प्रणाली

आइए दो परस्पर क्रिया करने वाले कणों की एक प्रणाली पर विचार करें। मान लीजिए कि उनकी परस्पर क्रिया के बल केंद्रीय हैं और बल का परिमाण कणों के बीच की दूरी पर निर्भर करता है (ऐसे बल गुरुत्वाकर्षण और विद्युत कूलम्ब बल हैं)। यह स्पष्ट है कि दो कणों के बीच परस्पर क्रिया की शक्तियाँ आंतरिक होती हैं।

न्यूटन के तीसरे नियम () को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं, अर्थात्। दो कणों के बीच परस्पर क्रिया की आंतरिक शक्तियों का कार्य उनके बीच की दूरी में परिवर्तन से निर्धारित होता है।

वही कार्य तब किया जाएगा जब पहला कण मूल बिंदु पर आराम पर था, और दूसरे को उसके त्रिज्या वेक्टर की वृद्धि के बराबर विस्थापन प्राप्त हुआ, अर्थात आंतरिक बलों द्वारा किए गए कार्य की गणना एक कण को ​​​​स्थिर मानकर की जा सकती है, और दूसरा केंद्रीय बलों के क्षेत्र में घूम रहा है, जिसका परिमाण कणों के बीच की दूरी से विशिष्ट रूप से निर्धारित होता है। §8 में हमने साबित किया कि ऐसे बलों का क्षेत्र (यानी केंद्रीय बलों का क्षेत्र, जिसमें बल का परिमाण केवल केंद्र की दूरी पर निर्भर करता है) रूढ़िवादी है, जिसका अर्थ है कि उनके कार्य में कमी के रूप में माना जा सकता है संभावित ऊर्जा (रूढ़िवादी ताकतों के क्षेत्र के लिए, §9 के अनुसार परिभाषित)।

विचाराधीन मामले में, यह ऊर्जा दो कणों की परस्पर क्रिया के कारण होती है जो एक बंद प्रणाली बनाते हैं। इसे अंतःक्रिया संभावित ऊर्जा (या पारस्परिक संभावित ऊर्जा) कहा जाता है। यह शून्य स्तर की पसंद पर भी निर्भर करता है और नकारात्मक हो सकता है।

हार।

कठोर पिंडों की एक यांत्रिक प्रणाली, जिसके बीच आंतरिक बल रूढ़िवादी होते हैं, रूढ़िवादी यांत्रिक प्रणाली कहलाती है।

यह दिखाया जा सकता है कि एन कणों की एक रूढ़िवादी प्रणाली की संभावित अंतःक्रिया ऊर्जा जोड़े में लिए गए कणों की संभावित अंतःक्रिया ऊर्जा से बनी होती है, जिसकी कल्पना की जा सकती है।

दो कणों i-th और j-th के बीच परस्पर क्रिया की स्थितिज ऊर्जा कहाँ है? सूचकांक i और j कुल मिलाकर 1,2,3, ..., N के स्वतंत्र मान लेते हैं। यह ध्यान में रखते हुए कि i-th और j-th कणों की एक दूसरे के साथ परस्पर क्रिया की समान संभावित ऊर्जा, तब योग करने पर , ऊर्जा 2 से गुणा हो जाएगी, जिसके परिणामस्वरूप राशि के सामने एक गुणांक दिखाई देगा। सामान्य तौर पर, एन कणों की एक प्रणाली की संभावित अंतःक्रिया ऊर्जा सभी कणों की स्थिति या निर्देशांक पर निर्भर करेगी। यह देखना आसान है कि रूढ़िवादी बलों के क्षेत्र में एक कण की संभावित ऊर्जा कणों की प्रणाली की बातचीत की संभावित ऊर्जा का एक प्रकार है, क्योंकि एक बल क्षेत्र एक दूसरे के साथ पिंडों की कुछ अंतःक्रिया का परिणाम है।

§ 11. यांत्रिकी में ऊर्जा संरक्षण का नियम.

कठोर शरीर को रूढ़िवादी और गैर-रूढ़िवादी ताकतों की कार्रवाई के तहत अनुवादित रूप से चलने दें, यानी। सामान्य मामला. तब शरीर पर कार्य करने वाली सभी शक्तियों का परिणाम होता है। इस मामले में सभी बलों के परिणामी का कार्य।

गतिज ऊर्जा पर प्रमेय द्वारा, और इसे भी ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं

शरीर की कुल यांत्रिक ऊर्जा

तो अगर। यह किसी व्यक्तिगत पिंड के लिए यांत्रिकी में ऊर्जा संरक्षण के नियम का गणितीय प्रतिनिधित्व है।

ऊर्जा संरक्षण के नियम का निरूपण:

किसी पिंड की कुल यांत्रिक ऊर्जा गैर-रूढ़िवादी बलों द्वारा कार्य की अनुपस्थिति में नहीं बदलती है।

एन कणों की एक यांत्रिक प्रणाली के लिए यह दिखाना आसान है कि (*) होता है।

जिसमें

यहां पहला योग कण प्रणाली की कुल गतिज ऊर्जा है।

दूसरा रूढ़िवादी बलों के बाहरी क्षेत्र में कणों की कुल संभावित ऊर्जा है

तीसरा सिस्टम के कणों की एक दूसरे के साथ परस्पर क्रिया की संभावित ऊर्जा है।

दूसरा और तीसरा योग प्रणाली की कुल संभावित ऊर्जा का प्रतिनिधित्व करता है।

गैर-रूढ़िवादी ताकतों के कार्य में दो शब्द शामिल हैं, जो आंतरिक और बाहरी गैर-रूढ़िवादी ताकतों के कार्य का प्रतिनिधित्व करते हैं।

ठीक वैसे ही जैसे किसी व्यक्तिगत पिंड की गति के मामले में, N पिंडों की एक यांत्रिक प्रणाली के लिए, यदि, तो, और एक यांत्रिक प्रणाली के लिए सामान्य मामले में ऊर्जा के संरक्षण का नियम कहता है:

कणों की एक प्रणाली की कुल यांत्रिक ऊर्जा जो केवल रूढ़िवादी ताकतों के प्रभाव में होती है, संरक्षित होती है।

इस प्रकार, गैर-रूढ़िवादी बलों की उपस्थिति में, कुल यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित नहीं होती है।

गैर-रूढ़िवादी बल, उदाहरण के लिए, घर्षण बल, प्रतिरोध बल और अन्य बल हैं, जिनकी क्रियाएं ऊर्जा विमुद्रीकरण (यांत्रिक ऊर्जा का गर्मी में संक्रमण) का कारण बनती हैं।

विस्वदेशीकरण की ओर ले जाने वाली शक्तियों को डेसिनेटिव कहा जाता है। कुछ ताकतें जरूरी नहीं कि नियति हों।

ऊर्जा संरक्षण का नियम सार्वभौमिक है और यह न केवल यांत्रिक घटनाओं पर, बल्कि प्रकृति की सभी प्रक्रियाओं पर भी लागू होता है। पिंडों और क्षेत्रों की एक पृथक प्रणाली में ऊर्जा की कुल मात्रा हमेशा स्थिर रहती है। ऊर्जा केवल एक रूप से दूसरे रूप में ही जा सकती है।

इस समानता को ध्यान में रखते हुए

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प्रारंभिक विस्थापन पर किसी बल द्वारा किया गया प्रारंभिक कार्य dA, के अदिश गुणनफल के बराबर मात्रा है

जहां कोण ए बल वैक्टर और विस्थापन के बीच का कोण है (चित्र 1.22, ए);

प्राथमिक विस्थापन वेक्टर मॉड्यूल या प्राथमिक पथ बल प्रयोग के बिंदु से आगे।

अंतिम विस्थापन पर किसी बल द्वारा किया गया कार्य प्रारंभिक कार्यों के योग के बराबर होता है:

. (1.61)

यदि बल स्थिर (=const) है, तो लंबाई l के सीधे खंड पर इसका कार्य इस प्रकार लिखा जाएगा:

. (1.62)

किसी बल द्वारा किया गया कार्य धनात्मक, ऋणात्मक अथवा शून्य हो सकता है। इस प्रकार, पथ l के क्षैतिज खंड पर पिंड (चित्र 1.22बी) पर लगाए गए निरंतर बलों का कार्य बराबर है:

किसी पिंड की गतिज ऊर्जा W k की अवधारणा का परिचय देने के लिए, हम प्रारंभिक कार्य लिखते हैं दादूसरे रूप में बल (1.2.2 देखें):

फिर उस बल के कार्य के लिए जो शरीर को अवस्था 1 (शरीर की गति) से अवस्था 2 (शरीर की गति) में स्थानांतरित करता है, हम लिख सकते हैं:

परिणामी सूत्र से यह निष्कर्ष निकलता है कि बल का कार्य दो मात्राओं के बीच अंतर के बराबर है जो शरीर की प्रारंभिक (गति) और अंतिम (गति) स्थिति निर्धारित करते हैं। इस मामले में, राज्य 1 से राज्य 2 में संक्रमण की स्थितियाँ लिखित अभिव्यक्ति को प्रभावित नहीं करती हैं। इसलिए, हम पिंड की अवस्था क्रिया, उसकी गतिज ऊर्जा W को इस रूप में प्रस्तुत कर सकते हैं एसपीवी, किसी पिंड की गति की गति को समान रूप से बदलकर कार्य करने की क्षमता को दर्शाता है

इस अभिव्यक्ति में, एक स्थिर मान चुना जाता है, यह मानते हुए कि किसी पिंड की गति की शून्य गति पर उसकी गतिज ऊर्जा शून्य है, इसलिए

पिंडों की गतिज ऊर्जा इस बात पर निर्भर नहीं करती कि दी गई गति यू कैसे प्राप्त की गई; यह पिंड की स्थिति का एक कार्य है, एक सकारात्मक मात्रा जो संदर्भ प्रणाली की पसंद पर निर्भर करती है।

W k का परिचय हमें गतिज ऊर्जा के बारे में एक प्रमेय तैयार करने की अनुमति देता है, जिसके अनुसार किसी पिंड पर कार्य करने वाले सभी बलों के कार्य का बीजगणितीय योग शरीर की गतिज ऊर्जा में वृद्धि के बराबर होता है:

इस प्रमेय का उपयोग व्यापक रूप से न केवल यांत्रिकी में, बल्कि भौतिकी पाठ्यक्रमों के अन्य वर्गों, जैसे इलेक्ट्रोस्टैटिक्स, प्रत्यक्ष वर्तमान, विद्युत चुंबकत्व, दोलन और तरंगों आदि में भी निकायों की बातचीत का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है।

1.4.2. घूमते हुए ए.टी.टी. की गतिज ऊर्जा

आइए हम कोणीय वेग के साथ एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमते हुए एक ए.टी.टी. लें (चित्र 1.16, बी)। आइए हम शरीर की कल्पना एम.टी. के संग्रह के रूप में करें। जनता डी.एम, तो शरीर की गतिज ऊर्जा के लिए हम लिख सकते हैं:

तो, गतिज ऊर्जा ए.टी.टी. घूर्णन की एक निश्चित धुरी के सापेक्ष घूर्णन, सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

यदि कोई पिंड एक साथ ट्रांसलेशनल (सपाट) और घूर्णी गति में भाग लेता है (उदाहरण के लिए, एक विमान के साथ फिसलने के बिना एक सिलेंडर की गति, चित्र 1.23, ए), तो इसकी गतिज ऊर्जा प्राप्त की जा सकती है

चित्र.1.23

किसी पिंड की स्थानांतरीय गति की गतिज ऊर्जा के योग के साथ-साथ उसके द्रव्यमान के केंद्र (बिंदु) से गुजरने वाली घूर्णन धुरी के योग के रूप में के बारे में), गति के साथ और कोणीय वेग के साथ इस अक्ष के सापेक्ष शरीर की घूर्णी गति

. (1.67)

ठोस के लिए ( मैं 1=1/2एमआर 2) और पतली दीवार वाली ( मैं 2=एमआर 2) समान द्रव्यमान के सिलेंडर एमऔर त्रिज्या आरगतिज ऊर्जाएँ इस प्रकार लिखी जाएंगी:

.

सिलेंडरों की गतिज ऊर्जा के लिए परिणामी सूत्र ऊंचाई के साथ एक झुके हुए विमान से उनके लुढ़कने के समय के अंतर से प्रयोग को समझाना संभव बनाते हैं। एचऔर लंबाई एल(चित्र 1.23, बी)। इस प्रकार, ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार (सिलेंडरों की गति के दौरान घर्षण बल को व्यावहारिक रूप से उपेक्षित किया जा सकता है), हम प्राप्त करते हैं

,

जहां झुके हुए तल के आधार पर ठोस और खोखले सिलेंडरों के वेग को दर्शाया जाता है।

जब सिलेंडर लुढ़कते हैं, तो उनका द्रव्यमान केंद्र प्रारंभिक गति के बिना समान रूप से त्वरित होता है और इसलिए, सूत्र (1.13) के अनुसार, हम लिख सकते हैं:

,

वे। खोखले सिलेंडर को रोल करने में ठोस सिलेंडर की तुलना में अधिक समय लगता है।

गुणात्मक रूप से, इसे इस तथ्य से समझाया जा सकता है कि एक खोखला सिलेंडर एक ठोस सिलेंडर की तुलना में अधिक निष्क्रिय होता है (इसके लिए घूर्णन की धुरी के सापेक्ष जड़ता का क्षण अधिक होता है), और इसलिए यह अपनी गति को अधिक धीरे-धीरे बदलता है और इसलिए अधिक समय व्यतीत करता है झुके हुए तल पर लुढ़कना।

जैसा कि चित्र 1.23, ए से देखा जा सकता है, सिलेंडर की सतह पर बिंदुओं के वेग मॉड्यूल अलग होंगे (यू बी =0, , यू ए =2यू)इस तथ्य के कारण कि ये बिंदु गति से अनुवादात्मक और घूर्णी दोनों आंदोलनों में एक साथ भाग लेते हैं और , और क्योंकि प्रत्येक बिंदु सिलेंडर की सतह पर स्पर्शरेखीय रूप से निर्देशित है और परिमाण में बराबर है यू( ).

ध्यान दें कि सिलेंडर की गति को बिंदु से गुजरने वाली तात्कालिक धुरी के चारों ओर क्रमिक घुमावों की एक श्रृंखला के रूप में भी माना जा सकता है साथ(चित्र 1.23, ए) कोणीय वेग w के साथ। इसके अलावा, इस मामले में, शरीर की गतिज ऊर्जा भी सूत्र (1.67) द्वारा निर्धारित की जाती है।

शरीर पर लागू परिणामी बलों का कार्य शरीर की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।

चूँकि गतिज ऊर्जा में परिवर्तन बल (3) द्वारा किए गए कार्य के बराबर होता है, शरीर की गतिज ऊर्जा को कार्य के समान इकाइयों में, यानी जूल में व्यक्त किया जाता है।

यदि किसी द्रव्यमान के पिंड की गति की प्रारंभिक गति एमशून्य है और शरीर अपनी गति को मान तक बढ़ा देता है υ , तो बल द्वारा किया गया कार्य पिंड की गतिज ऊर्जा के अंतिम मान के बराबर है:

ए=इक 2−इक 1=एम⋅υ 22−0=एम⋅υ 22 .

42) संभावित क्षेत्र

संभावित क्षेत्र

रूढ़िवादी क्षेत्र, एक वेक्टर क्षेत्र जिसका किसी भी बंद प्रक्षेपवक्र के साथ परिसंचरण शून्य है। यदि एक बल क्षेत्र एक बल क्षेत्र है, तो इसका मतलब है कि एक बंद प्रक्षेपवक्र के साथ क्षेत्र बलों का कार्य शून्य के बराबर है। पी. पी. के लिए ए(एम) ऐसा अनोखा कार्य है यू(एम)(क्षेत्र क्षमता) वह ए= स्नातक यू(ग्रेडिएंट देखें)। यदि किसी सरल रूप से जुड़े डोमेन Ω में फ़ील्ड फ़ील्ड दी गई है, तो इस फ़ील्ड की क्षमता सूत्र का उपयोग करके पाई जा सकती है

जिसमें पूर्वाह्न-किसी निश्चित बिंदु को जोड़ने वाला कोई चिकना वक्र एΩ से एक बिंदु के साथ एम, टी -स्पर्श रेखा वक्र का इकाई सदिश पूर्वाह्न।और/-चाप लंबाई पूर्वाह्न।प्वाइंट आधारित एक।अगर ए(एम) - पी. पी., फिर सड़ना ए= 0 (वेक्टर फ़ील्ड भंवर देखें)। इसके विपरीत, यदि सड़ जाये ए= 0 और फ़ील्ड को एक सरल रूप से जुड़े डोमेन में परिभाषित किया गया है और यह अलग-अलग है ए(एम) - पी.पी. क्षमता, उदाहरण के लिए, एक इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र, एक गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र और अघूर्णी गति के दौरान एक वेग क्षेत्र है।

43) संभावित ऊर्जा

संभावित ऊर्जा- एक अदिश भौतिक मात्रा जो बलों की कार्रवाई के क्षेत्र में अपने स्थान के कारण एक निश्चित शरीर (या भौतिक बिंदु) की कार्य करने की क्षमता को दर्शाती है। एक अन्य परिभाषा: संभावित ऊर्जा निर्देशांक का एक कार्य है, जो लैग्रेंजियन प्रणाली में एक शब्द है और सिस्टम के तत्वों की बातचीत का वर्णन करता है। "संभावित ऊर्जा" शब्द 19वीं शताब्दी में स्कॉटिश इंजीनियर और भौतिक विज्ञानी विलियम रैंकिन द्वारा गढ़ा गया था।

ऊर्जा की SI इकाई जूल है।

अंतरिक्ष में पिंडों के एक निश्चित विन्यास के लिए संभावित ऊर्जा को शून्य माना जाता है, जिसका विकल्प आगे की गणना की सुविधा से निर्धारित होता है। इस कॉन्फ़िगरेशन को चुनने की प्रक्रिया को कहा जाता है संभावित ऊर्जा का सामान्यीकरण.

स्थितिज ऊर्जा की सही परिभाषा केवल बलों के क्षेत्र में ही दी जा सकती है, जिसका कार्य केवल पिंड की प्रारंभिक और अंतिम स्थिति पर निर्भर करता है, न कि उसके गति के प्रक्षेपवक्र पर। ऐसी ताकतों को रूढ़िवादी कहा जाता है।

इसके अलावा, स्थितिज ऊर्जा कई पिंडों या एक पिंड और एक क्षेत्र की परस्पर क्रिया की विशेषता है।

कोई भी भौतिक प्रणाली सबसे कम संभावित ऊर्जा वाली स्थिति की ओर प्रवृत्त होती है।

लोचदार विरूपण की संभावित ऊर्जा शरीर के हिस्सों के बीच परस्पर क्रिया को दर्शाती है।

सतह के निकट पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में संभावित ऊर्जा लगभग सूत्र द्वारा व्यक्त की जाती है:

कहाँ ई पी- शरीर की स्थितिज ऊर्जा, एम- शरीर का भार, जी- गुरुत्वाकर्षण का त्वरण, एच- मनमाने ढंग से चुने गए शून्य स्तर से ऊपर शरीर के द्रव्यमान के केंद्र की ऊंचाई।

44) बल और स्थितिज ऊर्जा के बीच संबंध

संभावित क्षेत्र का प्रत्येक बिंदु, एक ओर, शरीर पर कार्य करने वाले बल वेक्टर के एक निश्चित मूल्य से मेल खाता है, और दूसरी ओर, संभावित ऊर्जा के एक निश्चित मूल्य से मेल खाता है। इसलिए, बल और स्थितिज ऊर्जा के बीच एक निश्चित संबंध होना चाहिए।

इस संबंध को स्थापित करने के लिए, आइए हम अंतरिक्ष में एक मनमाने ढंग से चुनी गई दिशा के साथ होने वाले शरीर के एक छोटे से विस्थापन के दौरान क्षेत्र बलों द्वारा किए गए प्राथमिक कार्य की गणना करें, जिसे हम पत्र द्वारा निरूपित करते हैं। ये काम बराबर है

दिशा पर बल का प्रक्षेपण कहां है.

चूँकि इस मामले में कार्य संभावित ऊर्जा के भंडार के कारण किया जाता है, यह अक्ष खंड पर संभावित ऊर्जा के नुकसान के बराबर है:

अंतिम दो भावों से हमें प्राप्त होता है

अंतिम अभिव्यक्ति अंतराल पर औसत मान देती है। को

उस बिंदु पर मूल्य प्राप्त करने के लिए आपको सीमा पर जाना होगा:

गणित वेक्टर में,

जहां a, x, y, z का एक अदिश फलन है, जिसे इस अदिश का ग्रेडिएंट कहा जाता है और इसे प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है . इसलिए, बल विपरीत चिह्न के साथ ली गई संभावित ऊर्जा प्रवणता के बराबर है

45) यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण का नियम