सिस्टम की कुल यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित रहती है। ऊर्जा के संरक्षण और परिवर्तन का नियम. ऊर्जा के संरक्षण एवं परिवर्तन के नियम का निरूपण एवं परिभाषा

यह वीडियो पाठ "यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण का नियम" विषय से स्वयं परिचित होने के लिए है। पहले परिभाषित करते हैं कुल ऊर्जाऔर एक बंद प्रणाली. फिर हम यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण का नियम बनाएंगे और विचार करेंगे कि इसे भौतिकी के किन क्षेत्रों में लागू किया जा सकता है। हम कार्य को परिभाषित भी करेंगे और उससे जुड़े सूत्रों को देखकर सीखेंगे कि उसे कैसे परिभाषित किया जाए।

विषय: यांत्रिक कंपन और तरंगें। आवाज़

पाठ 32. यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण का नियम

एरीयुटकिन एवगेनी सर्गेइविच

पाठ का विषय प्रकृति के मूलभूत नियमों में से एक है -।

हमने पहले क्षमता और के बारे में बात की थी गतिज ऊर्जा, और यह भी कि किसी पिंड में स्थितिज और गतिज ऊर्जा दोनों हो सकती हैं। यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण के नियम के बारे में बात करने से पहले, आइए याद रखें कि कुल ऊर्जा क्या है। ऊर्जा से भरा हुआकिसी पिंड की स्थितिज और गतिज ऊर्जाओं का योग है। आइए याद रखें कि बंद प्रणाली किसे कहते हैं। यह एक ऐसी प्रणाली है जिसमें एक दूसरे के साथ बातचीत करने वाले निकायों की एक सख्ती से परिभाषित संख्या होती है, लेकिन बाहर से कोई अन्य निकाय इस प्रणाली पर कार्य नहीं करता है।

जब हमने कुल ऊर्जा और एक बंद प्रणाली की अवधारणा पर निर्णय ले लिया है, तो हम यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण के नियम के बारे में बात कर सकते हैं। इसलिए, गुरुत्वाकर्षण या लोचदार बलों के माध्यम से एक दूसरे के साथ बातचीत करने वाले निकायों की एक बंद प्रणाली में कुल यांत्रिक ऊर्जा इन निकायों के किसी भी आंदोलन के दौरान अपरिवर्तित रहती है।

एक निश्चित ऊंचाई से किसी पिंड के मुक्त रूप से गिरने के उदाहरण का उपयोग करके ऊर्जा के संरक्षण पर विचार करना सुविधाजनक है। यदि कोई पिंड पृथ्वी के सापेक्ष एक निश्चित ऊंचाई पर आराम की स्थिति में है, तो इस पिंड में स्थितिज ऊर्जा होती है। जैसे ही शरीर हिलना शुरू करता है, शरीर की ऊंचाई कम हो जाती है, और स्थितिज ऊर्जा कम हो जाती है। इसी समय, गति बढ़ने लगती है और गतिज ऊर्जा प्रकट होती है। जब पिंड पृथ्वी के निकट आता है, तो पिंड की ऊंचाई 0 होती है, स्थितिज ऊर्जा भी 0 होती है, और पिंड की गतिज ऊर्जा अधिकतम होगी। यहीं पर स्थितिज ऊर्जा का गतिज ऊर्जा में परिवर्तन दिखाई देता है। यही बात शरीर की उल्टी दिशा में, नीचे से ऊपर की ओर गति के बारे में भी कही जा सकती है, जब शरीर को लंबवत ऊपर की ओर फेंका जाता है।

बेशक, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि हमने घर्षण बलों की अनुपस्थिति को ध्यान में रखते हुए इस उदाहरण पर विचार किया, जो वास्तव में किसी भी प्रणाली में कार्य करते हैं। आइए सूत्रों की ओर मुड़ें और देखें कि यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण का नियम कैसे लिखा जाता है:।

कल्पना कीजिए कि संदर्भ के एक निश्चित फ्रेम में एक पिंड में गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा होती है। यदि सिस्टम बंद है, तो किसी भी परिवर्तन के साथ पुनर्वितरण होता है, एक प्रकार की ऊर्जा का दूसरे प्रकार में परिवर्तन होता है, लेकिन कुल ऊर्जा मूल्य में समान रहती है। ऐसी स्थिति की कल्पना करें जहां एक कार क्षैतिज सड़क पर चल रही हो। ड्राइवर इंजन बंद कर देता है और इंजन बंद करके गाड़ी चलाता रहता है। इस मामले में क्या होता है? में इस मामले मेंएक कार में गतिज ऊर्जा होती है। लेकिन आप अच्छी तरह जानते हैं कि समय के साथ गाड़ी बंद हो जाएगी। इस मामले में ऊर्जा कहां गई? आख़िरकार, इस मामले में शरीर की संभावित ऊर्जा भी नहीं बदली, यह पृथ्वी के सापेक्ष किसी प्रकार का स्थिर मूल्य था। ऊर्जा परिवर्तन कैसे हुआ? इस मामले में, ऊर्जा का उपयोग घर्षण बलों पर काबू पाने के लिए किया गया था। यदि किसी प्रणाली में घर्षण होता है तो इसका प्रभाव उस प्रणाली की ऊर्जा पर भी पड़ता है। आइए देखें कि इस मामले में ऊर्जा में परिवर्तन कैसे दर्ज किया जाता है।

ऊर्जा बदलती है, और ऊर्जा में यह परिवर्तन घर्षण बल के विरुद्ध कार्य द्वारा निर्धारित होता है। हम सूत्र का उपयोग करके कार्य निर्धारित कर सकते हैं, जिसे ग्रेड 7 से जाना जाता है: ए = एफ.* एस.

इसलिए, जब हम ऊर्जा और कार्य के बारे में बात करते हैं, तो हमें यह समझना चाहिए कि हर बार हमें इस तथ्य को ध्यान में रखना चाहिए कि ऊर्जा का कुछ हिस्सा घर्षण बलों पर काबू पाने में खर्च होता है। घर्षण बलों पर काबू पाने के लिए काम किया जा रहा है।

पाठ को समाप्त करने के लिए, मैं यह कहना चाहूंगा कि कार्य और ऊर्जा अनिवार्य रूप से अभिनय बलों के माध्यम से संबंधित मात्राएं हैं।

अतिरिक्त कार्य 1 "एक निश्चित ऊंचाई से किसी पिंड के गिरने पर"

समस्या 1

पिंड पृथ्वी की सतह से 5 मीटर की ऊंचाई पर है और स्वतंत्र रूप से गिरना शुरू कर देता है। जमीन के संपर्क के क्षण में शरीर की गति निर्धारित करें।

दिया गया: समाधान:

एच = 5 मीटर 1. ईपी = एम* जी*.एच

वी0 = 0 ; एम * जी * एच =

_______ V2 = 2gH

वीके - ? उत्तर:

आइए ऊर्जा संरक्षण के नियम पर विचार करें।

चावल। 1. शारीरिक गतिविधि (कार्य 1)

शीर्ष बिंदु पर शरीर में केवल स्थितिज ऊर्जा होती है: ईपी = एम * जी * एच.जब पिंड जमीन के करीब आएगा तो जमीन से ऊपर पिंड की ऊंचाई 0 के बराबर होगी, जिसका मतलब है कि पिंड की स्थितिज ऊर्जा गायब हो गई है, वह गतिज ऊर्जा में बदल गई है।

ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार हम लिख सकते हैं: एम * जी * एच =. शरीर का वजन कम हो जाता है. उपरोक्त समीकरण को बदलने पर, हमें मिलता है: V2 = 2gH.

अंतिम उत्तर होगा: . यदि हम संपूर्ण मान को प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें मिलता है: .

अतिरिक्त कार्य 2

एक पिंड ऊंचाई H से स्वतंत्र रूप से गिरता है। निर्धारित करें कि किस ऊंचाई पर गतिज ऊर्जा क्षमता के एक तिहाई के बराबर है।

दिया गया: समाधान:

एन ईपी = एम. जी। एच; ;

एम.जी.एच = एम.जी.एच + एम.जी.एच

एच - ? उत्तर: एच = एच.

चावल। 2.कार्य 2

जब कोई पिंड ऊंचाई H पर होता है, तो उसमें स्थितिज ऊर्जा होती है, और केवल स्थितिज ऊर्जा होती है। यह ऊर्जा सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है: ईपी = एम * जी * एच.यह शरीर की कुल ऊर्जा होगी।

जब कोई पिंड नीचे की ओर बढ़ना शुरू करता है, तो स्थितिज ऊर्जा कम हो जाती है, लेकिन साथ ही गतिज ऊर्जा भी बढ़ जाती है। जिस ऊंचाई को निर्धारित करने की आवश्यकता है, उस पर शरीर की पहले से ही एक निश्चित गति V होगी। ऊंचाई h के अनुरूप बिंदु के लिए, गतिज ऊर्जा का रूप होता है:। इस ऊंचाई पर संभावित ऊर्जा को इस प्रकार दर्शाया जाएगा:।

ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार हमारी कुल ऊर्जा संरक्षित रहती है। यह ऊर्जा ईपी = एम * जी * एचएक स्थिर मूल्य रहता है. बिंदु h के लिए हम निम्नलिखित संबंध लिख सकते हैं: (जेड.एस.ई. के अनुसार)।

यह याद रखते हुए कि समस्या की स्थितियों के अनुसार गतिज ऊर्जा है, हम निम्नलिखित लिख सकते हैं: m.g.Н = m.g.h + m.g.h.

कृपया ध्यान दें कि द्रव्यमान कम हो गया है, गुरुत्वाकर्षण का त्वरण कम हो गया है, सरल परिवर्तनों के बाद हम पाते हैं कि जिस ऊँचाई पर यह संबंध है वह h = H है।

उत्तर: h= 0.75H

अतिरिक्त कार्य 3

दो पिंड - m1 द्रव्यमान का एक ब्लॉक और m2 द्रव्यमान की एक प्लास्टिसिन गेंद - समान गति से एक दूसरे की ओर बढ़ रहे हैं। टक्कर के बाद, प्लास्टिसिन बॉल ब्लॉक से चिपक जाती है, दोनों शरीर एक साथ चलते रहते हैं। यह निर्धारित करें कि इन पिंडों की आंतरिक ऊर्जा में कितनी ऊर्जा परिवर्तित होती है, इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि ब्लॉक का द्रव्यमान प्लास्टिसिन बॉल के द्रव्यमान का 3 गुना है।

दिया गया: समाधान:

एम1 = 3. एम2 एम1.वी1- एम2.वी2= (एम1+एम2).यू; 3.m2V- m2.V= 4 m2.U2.V=4.U; .

इसका मतलब यह है कि ब्लॉक और प्लास्टिसिन बॉल की गति टक्कर से पहले की गति से 2 गुना कम होगी।

अगला कदम यह है.

.

इस मामले में, कुल ऊर्जा दो पिंडों की गतिज ऊर्जा का योग है। जिन पिंडों को अभी तक छुआ नहीं है, वे टकराते नहीं हैं। टक्कर के बाद फिर क्या हुआ? निम्नलिखित प्रविष्टि को देखें: .

बाईं ओर हम कुल ऊर्जा छोड़ते हैं, और दाईं ओर हमें लिखना चाहिए गतिज ऊर्जापरस्पर क्रिया के बाद शरीर और यांत्रिक ऊर्जा का वह हिस्सा गर्मी में बदल जाता है क्यू.

इस प्रकार हमारे पास है: . परिणामस्वरूप, हमें उत्तर मिलता है .

कृपया ध्यान दें: इस बातचीत के परिणामस्वरूप के सबसेऊर्जा ऊष्मा में बदल जाती है, अर्थात्। आंतरिक ऊर्जा में बदल जाता है.

अतिरिक्त साहित्य की सूची:

क्या आप संरक्षण के नियमों से इतने परिचित हैं? // क्वांटम। - 1987. - नंबर 5. - पी. 32-33.
गोरोडेत्स्की ई.ई. ऊर्जा संरक्षण का नियम // क्वांटम। - 1988. - नंबर 5. - पी. 45-47.
सोलोवेचिक आई.ए. भौतिक विज्ञान। यांत्रिकी। आवेदकों और हाई स्कूल के छात्रों के लिए एक मैनुअल। - सेंट पीटर्सबर्ग: आईजीआरईसी एजेंसी, 1995. - पी. 119-145।
भौतिकी: यांत्रिकी. 10वीं कक्षा: पाठ्यपुस्तक। भौतिकी के गहन अध्ययन के लिए / एम.एम. बालाशोव, ए.आई. गोमोनोवा, ए.बी. डोलिट्स्की और अन्य; ईडी। जी.या. मयाकिशेवा। - एम.: बस्टर्ड, 2002. - पी. 309-347.

यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण का नियम विभिन्न प्रकार की ऊर्जा को जोड़ता है; आइए उन पर अधिक विस्तार से विचार करें। आइए इसके व्यावहारिक अनुप्रयोग की संभावनाओं का पता लगाएं।

भौतिक तंत्र की विशेषताएं

यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण के नियम का गणितीय सूत्रीकरण गतिज और स्थितिज ऊर्जा से संबंधित है।

कानून का सार यह है कि एक रूप को दूसरे रूप में बदलने की अनुमति है, जबकि कुल मूल्य अपरिवर्तित रहता है। भौतिकी की विभिन्न शाखाओं के पास इस नियम के अपने-अपने सूत्र हैं। उदाहरण के लिए, थर्मोडायनामिक्स में पहले कानून को प्रतिष्ठित किया जाता है, शास्त्रीय यांत्रिकी में संरक्षण कानून का उपयोग किया जाता है, और इलेक्ट्रोडायनामिक्स में गणना पोयंटिंग के प्रमेय के आधार पर की जाती है।

मौलिक अर्थ

यांत्रिक ऊर्जा कैसे निर्धारित की जाती है? यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण के नियम को नोएथर प्रमेय द्वारा समझाया गया है। यह समय सीमा और यांत्रिकी के अन्य मूलभूत सिद्धांतों के संबंध में कानून की स्वतंत्रता की व्याख्या करता है। न्यूटोनियन सिद्धांत की विशेषता ऊर्जा संरक्षण के नियम के एक विशेष मामले का उपयोग है।

इस कानून का गुणात्मक वर्णन कैसे किया जा सकता है? एक बंद प्रणाली में विभव और गतिज रूपों का योग अपरिवर्तित रहता है।

यदि कोई अन्य बल सिस्टम पर कार्य नहीं करता है, तो इसका गायब होना और प्रकट होना नहीं देखा जाता है। यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण का नियम किस प्रकार उचित था? कई वैज्ञानिकों का प्रयोगशाला कार्य गतिज ऊर्जा के संभावित रूप में संक्रमण के अध्ययन पर आधारित था। उदाहरण के लिए, गणितीय पेंडुलम की स्थिति का विश्लेषण करते समय, दो प्रकार के कुल मूल्य की अपरिवर्तनीयता की पुष्टि करना संभव था।

ऊष्मप्रवैगिकी के मूल सिद्धांत

यांत्रिक ऊर्जा की गणना कैसे की जाती है? यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण के नियम को ऊष्मागतिकी के पहले नियम पर लागू किया जा सकता है। एक राज्य से दूसरे राज्य में संक्रमण के दौरान किसी सिस्टम की आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन को सिस्टम में स्थानांतरित गर्मी की मात्रा और बाहरी बलों के काम के योग के माध्यम से माना जाता है।

संवेग और यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण का नियम लगातार चलने वाले इंजन को प्राप्त करने की कठिनाई को समझाता है।

द्रवों के गुणों का अध्ययन

बर्नौली का समीकरण आदर्श तरल पदार्थों के हाइड्रोडायनामिक्स के लिए तैयार किया गया था। इसका सार तरल की स्थिरता है, जिसका घनत्व एक समान होता है।

यांत्रिक ऊर्जा का अध्ययन कैसे किया गया? यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण का नियम प्रयोगात्मक रूप से निर्धारित किया गया था। 19वीं सदी की शुरुआत में गे-लुसाक ने गैस के विस्तार और उसकी ताप क्षमता के बीच संबंध खोजने की कोशिश की। वह विचाराधीन प्रक्रिया में निरंतर तापमान स्थापित करने में कामयाब रहे।

कानून का इतिहास

19वीं शताब्दी में एम. फैराडे के प्रयोगों के बाद के बीच संबंध स्थापित हुआ अलग - अलग प्रकारमामला। ये अध्ययन ही थे जो संरक्षण कानून के उद्भव का आधार बने। कुल यांत्रिक ऊर्जा क्या है? ऊर्जा संरक्षण के नियम का नाम फ्रांसीसी भौतिक विज्ञानी सादी कार्नोट द्वारा किए गए प्रयोगों के परिणामस्वरूप रखा गया है। उन्होंने सिस्टम पर किए गए कार्य और जारी गर्मी की मात्रा के बीच संबंध को प्रयोगात्मक रूप से निर्धारित करने का प्रयास किया।

यह कार्नोट ही थे जो गर्मी और काम के बीच संबंध स्थापित करने में कामयाब रहे, यानी संरक्षण के नियम के आधार पर थर्मोडायनामिक्स का पहला नियम तैयार किया। जेम्स प्रेस्कॉट जूल ने क्लासिक प्रयोगों की एक श्रृंखला आयोजित की जिसका उद्देश्य धातु कोर के साथ एक सोलनॉइड के विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र में घूमने पर उत्पन्न गर्मी की मात्रा निर्धारित करना था।

वह यह स्थापित करने में सक्षम था कि प्रयोगों में जारी गर्मी की मात्रा सीधे धारा के वर्ग मान के समानुपाती होती है। बाद के प्रयोगों में, जूल ने कुंडल को एक निश्चित ऊंचाई से गिरने वाले वजन से बदल दिया। वैज्ञानिक उत्पन्न ऊष्मा की मात्रा और भार की ऊर्जा के गणितीय संकेतक के बीच संबंध स्थापित करने में सक्षम था।

रॉबर्ट मेयर ने एक दिलचस्प परिकल्पना प्रस्तावित की सार्वभौमिक अनुप्रयोगऊर्जा संरक्षण का नियम. मानव प्रणालियों की कार्यप्रणाली का अध्ययन करते समय, एक जर्मन डॉक्टर ने भोजन संसाधित होने पर शरीर द्वारा उत्सर्जित होने वाली गर्मी की मात्रा का विश्लेषण करने का निर्णय लिया। उन्हें इस मामले में किए गए काम की मात्रा में दिलचस्पी थी। मेयर मानव शरीर के अंदर होने वाली प्रक्रियाओं के लिए ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करने की संभावना की पुष्टि करते हुए, गर्मी और काम के बीच संबंध स्थापित करने में कामयाब रहे।

जूल और मेयर के अध्ययन के आधार पर, हरमन हेल्महोल्ट्ज़ ने संभावित ऊर्जा का पहला लक्षण वर्णन दिया। उनका तर्क गतिज (जीवित) ऊर्जा और तनाव बलों (संभावित ऊर्जा) के बीच संबंध पर आधारित था।

निष्कर्ष

विचाराधीन प्रणाली में निहित कई प्रकार की ऊर्जा के कुल संकेतक की अपरिवर्तनीयता की व्याख्या करने वाला कानून आज भी प्रासंगिक बना हुआ है। कानून की खोज ने विकास में योगदान दिया भौतिक विज्ञान, विज्ञान और प्रौद्योगिकी में मानी जाने वाली नवाचार प्रक्रियाओं के लिए शुरुआती बिंदु बन गया है। यह यांत्रिक ऊर्जा और प्रयोगशाला अभ्यास के संरक्षण के कानून का अध्ययन था जो जीवित प्रकृति की एकता के लिए एक विस्तृत औचित्य बन गया।

यह एक रूप से दूसरे रूप में संक्रमण के पैटर्न को इंगित करता है, गहराई को प्रकट करता है आंतरिक संबंधपदार्थ के रूपों के बीच. जीवन में घटित होने वाली कोई भी घटना और निर्जीव प्रकृति, इस कानून का उपयोग करके आसानी से समझाया जा सकता है। स्कूली पाठ्यक्रम किस पर केंद्रित है? विशेष ध्यानविभिन्न प्रकार की गति के बीच संबंधों के गणितीय रिकॉर्ड की व्युत्पत्ति, थर्मोडायनामिक प्रणाली के मूल सिद्धांतों पर विचार किया जाता है। भौतिकी में एकीकृत राज्य परीक्षा में, ऐसी समस्याएं प्रस्तावित की जाती हैं जिनमें इस संबंध का उपयोग शामिल होता है।

एक निश्चित अवधि में पिंडों की स्थिति में परिवर्तन से जुड़ी सौर मंडल में होने वाली प्रक्रियाओं को बुनियादी दृष्टिकोण से समझाया जा सकता है भौतिक नियम. पिंडों की यांत्रिक गति का अध्ययन करते समय गतिज से संभावित रूप में संक्रमण प्रासंगिक होता है। यह जानते हुए कि कुल संकेतक स्थिर रहेगा, आप गणितीय गणना कर सकते हैं।

निकायों की एक प्रणाली की कुल यांत्रिक ऊर्जा गतिज और संभावित ऊर्जा का योग है:

प्रणाली की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन इस प्रणाली के पिंडों पर कार्यरत सभी बलों के कुल कार्य के बराबर है:

∆Ek = Apot + Anepot + Aext (1)

सिस्टम की संभावित ऊर्जा में परिवर्तन विपरीत चिह्न के साथ संभावित बलों के कार्य के बराबर है:

∆Eп = - Аpot (2)

जाहिर है, कुल यांत्रिक ऊर्जा में परिवर्तन बराबर है:

∆E = ∆Eп + ∆Eк (3)

समीकरण (1-3) से हम पाते हैं कि कुल यांत्रिक ऊर्जा में परिवर्तन सभी बाहरी बलों और आंतरिक गैर-संभावित बलों के कुल कार्य के बराबर है।

∆Ek = Aext + Anepot (4)

सूत्र (4) है कुल यांत्रिक ऊर्जा में परिवर्तन का नियमफ़ोन सिस्टम

क्या है यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण का नियम? यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण का नियम यह है कि किसी बंद प्रणाली की कुल यांत्रिक ऊर्जा अपरिवर्तित रहती है।

4) घूर्णी गति. आवेग का क्षण. जड़ता टेंसर. किसी ठोस पिंड की गतिज ऊर्जा और कोणीय संवेग। कोनिग और स्टीनर-ह्यूजेंस के प्रमेय।

घूर्णी गति.

घूर्णी गति- यांत्रिक गति का प्रकार. एक बिल्कुल कठोर पिंड की घूर्णी गति के दौरान, इसके बिंदु समानांतर विमानों में स्थित वृत्तों का वर्णन करते हैं। सभी वृत्तों के केंद्र वृत्तों के तलों के लंबवत एक ही सीधी रेखा पर स्थित होते हैं और इसे घूर्णन अक्ष कहा जाता है। घूर्णन की धुरी शरीर के अंदर या उसके बाहर स्थित हो सकती है। किसी दिए गए संदर्भ प्रणाली में घूर्णन की धुरी या तो चल या स्थिर हो सकती है।

एकसमान घूर्णन के साथ (प्रति सेकंड टी क्रांतियाँ),

§ घूर्णन आवृत्ति- प्रति इकाई समय में शरीर के चक्करों की संख्या।

,

§ परिभ्रमण काल- एक पूर्ण क्रांति का समय. परिभ्रमण काल टीऔर इसकी आवृत्ति से संबंधित हैं।

§ रेखीय गतिघूर्णन अक्ष से दूरी R पर स्थित बिंदु

§ कोणीय वेगशरीर का घूमना

.

§ घूर्णी गति की गतिज ऊर्जा

कहाँ इज़- घूर्णन अक्ष के सापेक्ष पिंड की जड़ता का क्षण। - कोणीय वेग

आवेग का क्षण.

गतिघूर्णी गति की मात्रा को दर्शाता है। एक मात्रा जो इस बात पर निर्भर करती है कि कितना द्रव्यमान घूम रहा है, इसे घूर्णन की धुरी के सापेक्ष कैसे वितरित किया जाता है, और घूर्णन किस गति से होता है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि यहाँ घूर्णन को व्यापक अर्थ में समझा जाता है, न कि केवल एक अक्ष के चारों ओर नियमित घूर्णन के रूप में। उदाहरण के लिए, जब कोई पिंड किसी मनमाने काल्पनिक बिंदु से आगे एक सीधी रेखा में चलता है जो गति की रेखा पर नहीं है, तो उसमें भी कोणीय गति होती है। संभवतः वास्तविक घूर्णी गति का वर्णन करने में कोणीय गति द्वारा सबसे बड़ी भूमिका निभाई जाती है।

एक बंद-लूप प्रणाली का कोणीय संवेग संरक्षित रहता है।

एक निश्चित संदर्भ बिंदु के सापेक्ष एक कण का कोणीय संवेग उसके त्रिज्या वेक्टर और संवेग के वेक्टर उत्पाद द्वारा निर्धारित किया जाता है:

किसी दिए गए संदर्भ फ्रेम में चयनित निश्चित मूल के सापेक्ष कण का त्रिज्या वेक्टर कहां है, कण की गति है।

यदि एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमने वाले शरीर पर कार्य करने वाले बलों के क्षणों का योग शून्य के बराबर है, तो कोणीय गति संरक्षित है (कोणीय गति के संरक्षण का नियम):

समय के संबंध में एक कठोर पिंड के कोणीय संवेग का व्युत्पन्न शरीर पर कार्य करने वाले सभी बलों के क्षणों के योग के बराबर है:

जड़ता टेंसर.

जड़ता टेंसर- कठोर पिंड यांत्रिकी में - एक टेंसर मात्रा जो किसी पिंड के कोणीय संवेग और उसके घूर्णन की गतिज ऊर्जा को उसके कोणीय वेग से जोड़ती है:

जड़त्व टेंसर कहां है, कोणीय वेग है, कोणीय गति है

गतिज ऊर्जा।

गतिज ऊर्जा- एक यांत्रिक प्रणाली की ऊर्जा, उसके बिंदुओं की गति की गति पर निर्भर करती है। माप की SI इकाई जूल है। गतिज ऊर्जा किसी निकाय की कुल ऊर्जा और उसकी शेष ऊर्जा के बीच का अंतर है। स्थानांतरीय और घूर्णी गति की गतिज ऊर्जा अक्सर जारी होती है।

एक बिल्कुल कठोर शरीर के लिए, कुल गतिज ऊर्जा को स्थानान्तरणीय और घूर्णी गति की गतिज ऊर्जा के योग के रूप में लिखा जा सकता है:

कहां: - पिंड का द्रव्यमान, - पिंड के द्रव्यमान केंद्र की गति, - पिंड की जड़ता का क्षण, - पिंड का कोणीय वेग।

कोएनिग का प्रमेय.

कोएनिग का प्रमेयआपको द्रव्यमान के केंद्र की गति की ऊर्जा और द्रव्यमान के केंद्र के सापेक्ष गति की ऊर्जा के माध्यम से सिस्टम की कुल गतिज ऊर्जा को व्यक्त करने की अनुमति देता है।

किसी प्रणाली की गतिज ऊर्जा द्रव्यमान के केंद्र की गति की ऊर्जा और द्रव्यमान के केंद्र के सापेक्ष गति की ऊर्जा है:

,

जहां कुल गतिज ऊर्जा है, द्रव्यमान के केंद्र की गति की ऊर्जा है, और सापेक्ष गतिज ऊर्जा है।

दूसरे शब्दों में, जटिल गति में किसी पिंड या पिंडों की प्रणाली की कुल गतिज ऊर्जा स्थानान्तरण गति में प्रणाली की ऊर्जा और द्रव्यमान के केंद्र के सापेक्ष घूर्णी गति में प्रणाली की ऊर्जा के योग के बराबर होती है।

स्टीनर-ह्यूजेंस प्रमेय.

ह्यूजेन्स-स्टाइनर प्रमेय: एक मनमाना अक्ष के सापेक्ष किसी पिंड की जड़ता का क्षण, पिंड के द्रव्यमान के केंद्र से गुजरने वाली इसके समानांतर एक अक्ष के सापेक्ष इस पिंड की जड़ता के क्षण के योग के बराबर होता है, और अक्षों के बीच की दूरी के वर्ग द्वारा शरीर के द्रव्यमान का गुणनफल:

पिंड के द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली धुरी के बारे में जड़त्व का ज्ञात क्षण कहां है, समानांतर अक्ष के बारे में जड़ता का वांछित क्षण है, शरीर का द्रव्यमान है, संकेतित अक्षों के बीच की दूरी है।

5) दो कणों की प्रणाली. द्रव्यमान कम होना. केन्द्रीय क्षेत्र. केप्लर के नियम.

द्रव्यमान कम होना.

द्रव्यमान कम होना- चलती यांत्रिक प्रणाली में बड़े पैमाने पर वितरण की सशर्त विशेषता, पर निर्भर करती है भौतिक पैरामीटरप्रणाली (द्रव्यमान, जड़ता के क्षण, आदि) और इसकी गति के नियम पर।

आमतौर पर घटा हुआ द्रव्यमान समानता से निर्धारित होता है , सिस्टम की गतिज ऊर्जा कहां है, और सिस्टम के उस बिंदु की गति है जहां द्रव्यमान कम हो जाता है। अधिक सामान्य रूप में, कम किया गया द्रव्यमान स्थिर कनेक्शन वाले सिस्टम की गतिज ऊर्जा की अभिव्यक्ति में जड़ता का गुणांक है, जिसकी स्थिति सामान्यीकृत निर्देशांक द्वारा निर्धारित की जाती है

जहां बिंदु का अर्थ समय के संबंध में विभेदन है, और सामान्यीकृत निर्देशांक के कार्य हैं।

दो कणों की प्रणाली.

दो पिंडों की समस्या दो बिंदु कणों की गति को निर्धारित करना है जो केवल एक दूसरे के साथ बातचीत करते हैं। सामान्य उदाहरणों में एक उपग्रह किसी ग्रह की परिक्रमा करता है, एक ग्रह किसी तारे की परिक्रमा करता है।

दो-शरीर की समस्या को दो स्वतंत्र एक-शरीर की समस्याओं के रूप में दर्शाया जा सकता है जिसमें बाहरी क्षमता में एक कण की गति का समाधान शामिल होता है। चूंकि कई एक-शरीर की समस्याओं को बिल्कुल हल किया जा सकता है, इसलिए संबंधित दो-शरीर की समस्या को भी हल किया जा सकता है। इसके विपरीत, तीन-शरीर की समस्या (और, अधिक सामान्यतः, एन-शरीर की समस्या) को विशेष मामलों को छोड़कर हल नहीं किया जा सकता है।

दो-शरीर की समस्या में, जो उत्पन्न होती है, उदाहरण के लिए, आकाशीय यांत्रिकी या प्रकीर्णन सिद्धांत में, कम द्रव्यमान एक निश्चित प्रभावी द्रव्यमान के रूप में प्रकट होता है जब दो-शरीर की समस्या एक शरीर के बारे में दो समस्याओं में कम हो जाती है। दो पिंडों पर विचार करें: एक द्रव्यमान वाला और दूसरा द्रव्यमान वाला। समतुल्य एक-पिंड समस्या एक कम द्रव्यमान वाले पिंड की गति को बराबर मानती है

जहां इस द्रव्यमान पर लगने वाला बल दो पिंडों के बीच लगने वाले बल द्वारा दिया जाता है। यह देखा जा सकता है कि घटा हुआ द्रव्यमान दो द्रव्यमानों के हार्मोनिक माध्य के आधे के बराबर है।

केन्द्रीय क्षेत्र.

दो पिंडों की गति की समस्या को एक पिंड की गति की समस्या तक कम करने के बाद, हम एक कण की गति निर्धारित करने के प्रश्न पर आए। बाहरी क्षेत्र, जिसमें इसकी स्थितिज ऊर्जा केवल एक निश्चित निश्चित बिंदु की दूरी पर निर्भर करती है; ऐसे क्षेत्र को केंद्रीय कहा जाता है। बल

कण पर कार्य करना, निरपेक्ष मान में भी केवल पर निर्भर करता है और त्रिज्या वेक्टर के साथ प्रत्येक बिंदु पर निर्देशित होता है।

केंद्रीय क्षेत्र में चलते समय, क्षेत्र के केंद्र के सापेक्ष सिस्टम का क्षण संरक्षित रहता है। एक कण के लिए यह है

केप्लर के नियम.

केप्लर के नियम- तीन अनुभवजन्य संबंध. किसी ग्रह की आदर्श सूर्यकेन्द्रित कक्षा का वर्णन करें। शास्त्रीय यांत्रिकी के ढांचे के भीतर, वे सीमा / → 0 से गुजरते हुए दो-शरीर की समस्या के समाधान से प्राप्त होते हैं, जहां ग्रह और सूर्य का द्रव्यमान होता है।

1. प्रत्येक ग्रह सौर परिवारएक दीर्घवृत्त में घूमता है, जिसके एक फोकस पर सूर्य स्थित है।

2. प्रत्येक ग्रह सूर्य के केंद्र से होते हुए और उससे आगे एक तल में गति करता है समान अंतरालसमय, सूर्य और ग्रह को जोड़ने वाला त्रिज्या वेक्टर समान क्षेत्रों का वर्णन करता है।

3. सूर्य के चारों ओर ग्रहों की परिक्रमण अवधि के वर्ग ग्रहों की कक्षाओं के अर्ध-प्रमुख अक्षों के घनों के रूप में संबंधित हैं। यह न केवल ग्रहों के लिए, बल्कि उनके उपग्रहों के लिए भी सत्य है।

6) लैग्रेंज फ़ंक्शन. लैग्रेंज समीकरण. सामान्यीकृत आवेग, ऊर्जा। चक्रीय निर्देशांक. हैमिल्टन का कार्य और हैमिल्टन के समीकरण।

लैग्रेंज फ़ंक्शन.

7) हार्मोनिक कंपन. आयाम. आवृत्ति। स्प्रिंग पेंडुलम, गणितीय पेंडुलम, भौतिक पेंडुलम।

हार्मोनिक कंपन.

हार्मोनिक दोलन किसी भी मात्रा के आवधिक परिवर्तन की एक घटना है, जिसमें तर्क पर निर्भरता में साइन या कोसाइन फ़ंक्शन का चरित्र होता है। उदाहरण के लिए, एक मात्रा सामंजस्यपूर्ण रूप से दोलन करती है और समय के साथ निम्नानुसार बदलती है:

कहाँ एक्स- बदलती मात्रा का मूल्य, टी- समय, अन्य पैरामीटर स्थिर हैं: ए- दोलनों का आयाम, ω - दोलनों की चक्रीय आवृत्ति, - दोलनों का पूर्ण चरण, - दोलनों का प्रारंभिक चरण।

सामान्यीकृत हार्मोनिक दोलनविभेदक रूप में

(इस अंतर समीकरण का कोई भी गैर-तुच्छ समाधान चक्रीय आवृत्ति के साथ एक हार्मोनिक दोलन है)

§ मुक्त कंपनके प्रभाव में प्रतिबद्ध हैं आंतरिक बलसिस्टम को उसकी संतुलन स्थिति से हटा दिए जाने के बाद सिस्टम। मुक्त दोलनों के हार्मोनिक होने के लिए, यह आवश्यक है कि दोलन प्रणाली रैखिक हो (गति के रैखिक समीकरणों द्वारा वर्णित), और इसमें कोई ऊर्जा अपव्यय न हो (बाद वाला क्षीणन का कारण होगा)।

§ जबरदस्ती कंपनकिसी बाहरी आवधिक बल के प्रभाव में किया जाता है। उनके हार्मोनिक होने के लिए, यह पर्याप्त है कि दोलन प्रणाली रैखिक है (गति के रैखिक समीकरणों द्वारा वर्णित), और बाहरी बल समय के साथ हार्मोनिक दोलन के रूप में बदलता है (अर्थात, इस बल की समय निर्भरता साइनसॉइडल है) .

आयाम.

आयाम दोलन या तरंग गति के दौरान औसत मूल्य से किसी चर के विस्थापन या परिवर्तन का अधिकतम मूल्य है। एक गैर-नकारात्मक अदिश राशि जिसका आयाम परिभाषित भौतिक मात्रा के आयाम से मेल खाता है।

अन्यथा: आयाम संतुलन स्थिति से शरीर के अधिकतम विचलन का मॉड्यूल है। उदाहरण के लिए:

§ किसी पिंड के यांत्रिक कंपन (कंपन) के लिए आयाम, किसी तार या स्प्रिंग पर तरंगों के लिए - यह दूरी है और लंबाई की इकाइयों में लिखी जाती है।

आवृत्ति।

आवृत्ति - भौतिक मात्रा, एक आवधिक प्रक्रिया की एक विशेषता, समय की प्रति इकाई पूरी की गई प्रक्रिया के पूर्ण चक्रों की संख्या के बराबर। सूत्रों में मानक संकेतन , , या हैं। आवृत्ति की SI इकाई सामान्यतः Hz होती है। आवृत्ति के व्युत्क्रम को आवर्त कहते हैं।

प्रकृति में आवधिक प्रक्रियाओं को ~10 −16 हर्ट्ज़ (गैलेक्सी के केंद्र के चारों ओर सूर्य की क्रांति की आवृत्ति) से ~10 35 हर्ट्ज़ (सबसे उच्च-ऊर्जा ब्रह्मांडीय किरणों की विशेषता क्षेत्र दोलनों की आवृत्ति) तक आवृत्तियों के साथ जाना जाता है।

स्प्रिंग पेंडुलम.

स्प्रिंग पेंडुलम एक यांत्रिक प्रणाली है जिसमें लोच (कठोरता) k (हुक का नियम) के गुणांक वाला एक स्प्रिंग होता है, जिसका एक सिरा कठोरता से तय होता है, और दूसरे पर द्रव्यमान m का भार होता है।

जब एक लोचदार बल किसी विशाल पिंड पर कार्य करता है और उसे संतुलन स्थिति में लौटाता है, तो वह इस स्थिति के चारों ओर दोलन करता है। ऐसे पिंड को स्प्रिंग पेंडुलम कहा जाता है। दोलन किसी बाहरी बल के प्रभाव में होते हैं। बाहरी बल के कार्य करना बंद करने के बाद भी जारी रहने वाले दोलन मुक्त कहलाते हैं। किसी बाहरी बल की क्रिया के कारण होने वाले दोलनों को मजबूर कहा जाता है। इस स्थिति में बल को ही बल लगाना कहा जाता है।

सबसे सरल मामले में, एक स्प्रिंग पेंडुलम एक क्षैतिज विमान के साथ चलने वाला एक कठोर शरीर है, जो एक स्प्रिंग द्वारा दीवार से जुड़ा होता है।

गणितीय पेंडुलम.

गणित पेंडुलम- एक थरथरानवाला, जो एक यांत्रिक प्रणाली है जिसमें गुरुत्वाकर्षण बलों के एक समान क्षेत्र में भार रहित अवितानीय धागे पर या भार रहित छड़ पर स्थित एक भौतिक बिंदु होता है। लंबाई के गणितीय पेंडुलम के छोटे प्राकृतिक दोलनों की अवधि एलमुक्त गिरावट त्वरण के साथ एक समान गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में गतिहीन रूप से निलंबित जीके बराबर होती है

और पेंडुलम के आयाम और द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करता है।

एक छड़ के साथ एक सपाट गणितीय पेंडुलम एक डिग्री की स्वतंत्रता वाला एक सिस्टम है। यदि रॉड को तन्य धागे से बदल दिया जाता है, तो यह एक कनेक्शन के साथ स्वतंत्रता की दो डिग्री वाली प्रणाली है। एक स्कूल समस्या का एक उदाहरण जिसमें स्वतंत्रता की एक से दो डिग्री में संक्रमण महत्वपूर्ण है।

छोटे दोलनों के साथ, एक भौतिक पेंडुलम उसी तरह से दोलन करता है जैसे कि कम लंबाई वाला गणितीय पेंडुलम।

भौतिक पेंडुलम.

एक भौतिक पेंडुलम एक थरथरानवाला है, जो है ठोसकिसी बिंदु के सापेक्ष किसी भी बल के क्षेत्र में दोलन करना जो इस पिंड के द्रव्यमान का केंद्र नहीं है, या बलों की कार्रवाई की दिशा के लंबवत एक निश्चित अक्ष है और इस पिंड के द्रव्यमान के केंद्र से नहीं गुजर रहा है।

8) घर्षण के साथ कंपन. विघटनकारी कार्य.

वास्तविक प्रणालियों में, ऊर्जा अपव्यय हमेशा होता रहता है। यदि बाहरी उपकरणों द्वारा ऊर्जा हानि की भरपाई नहीं की जाती है, तो समय के साथ दोलन कम हो जाएंगे और कुछ समय बाद पूरी तरह से बंद हो जाएंगे। उतार-चढ़ाव पर विचार करें स्प्रिंग पेंडुलमएक चिपचिपे वातावरण में.

एक सजातीय चिपचिपे माध्यम में गतिमान किसी पिंड के लिए, घर्षण बल केवल गति पर निर्भर करता है। कम गति पर हम यह मान सकते हैं कि घर्षण बल

, जहां बीटा एक सकारात्मक स्थिरांक गुणांक है।

ऊर्जा की ओर

निष्कर्ष.

· घर्षण बल की उपस्थिति में प्राकृतिक कंपन की प्रकृति और के बीच संबंध से निर्धारित होती है। पर - एपेरियोडिक मोड (3); - दोलनों का वर्णन एक आवधिक नियम द्वारा किया जाता है जिसका आयाम समय के साथ तेजी से घटता है (4); - क्रिटिकल क्षीणन मोड (5)।

· दोलन प्रणाली का गुणवत्ता कारक बहुत है महत्वपूर्ण पैरामीटर, सिस्टम में अपव्यय प्रक्रियाओं को चिह्नित करना।

विघटनकारी कार्य(स्कैटरिंग फ़ंक्शन) - आदेशित गति की ऊर्जा को अव्यवस्थित गति की ऊर्जा में, अंततः तापीय ऊर्जा में, उदाहरण के लिए, गति पर चिपचिपे घर्षण बलों के प्रभाव को ध्यान में रखने के लिए पेश किया गया एक फ़ंक्शन यांत्रिक प्रणाली. विघटनकारी कार्य इस प्रणाली की यांत्रिक ऊर्जा में कमी की डिग्री को दर्शाता है। निरपेक्ष तापमान से विभाजित विघटनकारी कार्य उस दर को निर्धारित करता है जिस पर सिस्टम में एन्ट्रापी बढ़ती है (तथाकथित एन्ट्रापी उत्पादन)। विघटनकारी कार्य में शक्ति का आयाम होता है।

9) बिना घर्षण के जबरन कंपन. पिटाई। प्रतिध्वनि।

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मौजूदा बंद यांत्रिक प्रणाली के साथ, पिंड गुरुत्वाकर्षण और लोच की शक्तियों के माध्यम से परस्पर क्रिया करते हैं, तो उनका कार्य विपरीत चिह्न वाले पिंडों की संभावित ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है:

ए = - (ई р 2 - ई р 1) .

गतिज ऊर्जा पर प्रमेय का अनुसरण करते हुए, कार्य सूत्र रूप लेता है

ए = ई के 2 - ई के 1।

यह इस प्रकार है कि

ई के 2 - ई के 1 = - (ई पी 2 - ई पी 1) या ई के 1 + ई पी 1 = ई के 2 + ई पी 2।

पिंडों की गतिज और स्थितिज ऊर्जा का योग, एक बंद प्रणाली का गठन करना और गुरुत्वाकर्षण और लोचदार बलों के माध्यम से एक दूसरे के साथ बातचीत करना, बना हुआ है अपरिवर्तित.

यह कथन एक बंद प्रणाली और में ऊर्जा के संरक्षण के नियम को व्यक्त करता है यांत्रिक प्रक्रियाएँ, जो न्यूटन के नियमों का परिणाम है।

परिभाषा 2

जब बल परस्पर क्रिया करते हैं तो ऊर्जा संरक्षण का नियम संतुष्ट होता है संभावित ऊर्जाएक बंद सिस्टम में.

उदाहरण एन

इस तरह के कानून के अनुप्रयोग का एक उदाहरण एक हल्के अविभाज्य धागे की न्यूनतम ताकत का पता लगाना है जो द्रव्यमान एम के साथ एक एडज रखता है, इसे एक विमान (ह्यूजेन्स समस्या) के सापेक्ष लंबवत घुमाता है। विस्तृत समाधान चित्र 1 में दर्शाया गया है। 20 . 1 .

चित्र 1 । 20 . 1 . ह्यूजेन्स समस्या के लिए, जहां F → को प्रक्षेप पथ के निचले बिंदु पर धागे के तनाव बल के रूप में लिया जाता है।

ऊपरी और निचले बिंदुओं पर कुल ऊर्जा के संरक्षण के नियम की रिकॉर्डिंग का रूप ले लेता है

एम वी 1 2 2 = एम वी 2 2 2 + एम जी 2 एल।

F → शरीर की गति के लंबवत स्थित है, इसलिए निष्कर्ष यह है कि यह कार्य नहीं करता है।

यदि घूर्णन गति न्यूनतम है, तो शीर्ष बिंदु पर धागे का तनाव शून्य है, जिसका अर्थ है कि अभिकेन्द्रीय त्वरण केवल गुरुत्वाकर्षण का उपयोग करके प्रदान किया जा सकता है। तब

एम वी 2 2 एल = एम जी।

संबंधों के आधार पर, हम प्राप्त करते हैं

वी 1 एम आई एन 2 = 5 ग्राम एल।

अभिकेन्द्रीय त्वरण का निर्माण एक दूसरे के सापेक्ष विपरीत दिशाओं वाले बलों F → और m g → द्वारा निर्मित होता है। फिर सूत्र लिखा जाएगा:

एम वी 1 2 2 = एफ - एम जी।

हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि शीर्ष बिंदु पर शरीर की न्यूनतम गति पर, धागे का तनाव मान F = 6 m g के परिमाण के बराबर होगा।

जाहिर है, धागे की ताकत मूल्य से अधिक होनी चाहिए।

एक सूत्र के माध्यम से ऊर्जा के संरक्षण के नियम का उपयोग करके, सभी मध्यवर्ती बिंदुओं पर शरीर की गति के नियम के विश्लेषण का उपयोग किए बिना, प्रक्षेपवक्र के दो अलग-अलग बिंदुओं पर किसी पिंड के निर्देशांक और वेग के बीच संबंध प्राप्त करना संभव है। . यह कानूनआपको समस्या समाधान को काफी सरल बनाने की अनुमति देता है।

गतिमान पिंडों की वास्तविक स्थितियों में किसी दिए गए माध्यम के गुरुत्वाकर्षण, लोच, घर्षण और प्रतिरोध की ताकतें शामिल होती हैं। घर्षण बल द्वारा किया गया कार्य पथ की लंबाई पर निर्भर करता है, इसलिए यह रूढ़िवादी नहीं है।

घर्षण बल उन पिंडों के बीच कार्य करते हैं जो एक बंद प्रणाली बनाते हैं, फिर यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित नहीं होती है, इसका एक हिस्सा आंतरिक ऊर्जा में चला जाता है। कोई भी भौतिक अंतःक्रिया ऊर्जा के उद्भव या लुप्त होने को उत्तेजित नहीं करती है। यह एक रूप से दूसरे रूप में चला जाता है। यह तथ्य प्रकृति के एक मौलिक नियम को व्यक्त करता है - ऊर्जा के संरक्षण और परिवर्तन का नियम.

परिणाम एक सतत गति मशीन (पेरपेटुम मोबाइल) बनाने की असंभवता के बारे में बयान है - एक ऐसी मशीन जो काम करेगी और ऊर्जा की खपत नहीं करेगी।

चित्र 1 । 20 . 2. सतत गति मशीन परियोजना. यह मशीन काम क्यों नहीं करेगी?

मौजूद एक बड़ी संख्या कीऐसी परियोजनाएं. उन्हें अस्तित्व में रहने का कोई अधिकार नहीं है, क्योंकि गणना के दौरान पूरे उपकरण की कुछ डिज़ाइन त्रुटियाँ स्पष्ट रूप से दिखाई देती हैं, जबकि अन्य छिपी हुई हैं। ऐसी मशीन को लागू करने के प्रयास निरर्थक हैं, क्योंकि वे ऊर्जा के संरक्षण और परिवर्तन के नियम का खंडन करते हैं, इसलिए कोई सूत्र खोजने से परिणाम नहीं मिलेंगे।

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