Преобразуване на енергия по време на хармонични трептения резюме. Енергийни трансформации при хармонични трептения

Математическо махалое материална точка, окачена на безтегловна и неразтеглива нишка, разположена в гравитационното поле на Земята. Математическото махало е идеализиран модел, който правилно описва реално махало само при определени условия. Истинското махало може да се счита за математическо, ако дължината на нишката е много по-голяма от размера на тялото, окачено върху нея, масата на нишката е незначителна в сравнение с масата на тялото и деформациите на нишката са толкова малки че те могат да бъдат напълно пренебрегнати.

Осцилаторната система в този случай се формира от нишка, тяло, прикрепено към нея и Земята, без която тази система не би могла да служи като махало.

Където А х – ускорение, ж - ускорение на гравитацията, х- денивелация, л– дължина на нишката на махалото.

Това уравнение се нарича уравнение на свободните трептения на математическо махало.Той правилно описва въпросните вибрации само когато са изпълнени следните предположения:

2) разглеждат се само малки трептения на махалото с малък ъгъл на люлеене.

Свободните вибрации на всяка система се описват във всички случаи с подобни уравнения.

Причините за свободните трептения на математическото махало са:

1. Действието на напрежението и гравитацията върху махалото, което му пречи да се движи от равновесното положение и го принуждава да падне отново.

2. Инерцията на махалото, поради която то, запазвайки скоростта си, не спира в равновесното положение, а преминава през него по-нататък.

Период на свободни трептения на математическо махало

Периодът на свободно трептене на математическото махало не зависи от неговата маса, а се определя само от дължината на нишката и ускорението на гравитацията в мястото, където се намира махалото.

Преобразуване на енергия при хармонични трептения

При хармонични трептения на пружинно махало потенциалната енергия на еластично деформирано тяло се преобразува в неговата кинетична енергия, където к – коефициент на еластичност, Х -модул на изместване на махалото от равновесно положение, м- маса на махалото, v- неговата скорост. Според уравнението на хармоничните вибрации:

, .

Обща енергия на пружинно махало:

.

Обща енергия за математическо махало:

В случай на математическо махало

Енергийните трансформации по време на трептения на пружинно махало се извършват в съответствие със закона за запазване на механичната енергия ( ). Когато махалото се движи надолу или нагоре от равновесното си положение, потенциалната му енергия се увеличава, а кинетичната енергия намалява. Когато махалото премине равновесното положение ( х= 0), неговата потенциална енергия е нула, а кинетичната енергия на махалото има най-голяма стойност, равна на пълната му енергия.

Така в процеса на свободни трептения на махалото неговата потенциална енергия се превръща в кинетична, кинетичната в потенциална, потенциалната отново в кинетична и т.н. Но общата механична енергия остава непроменена.

Принудителни вибрации. Резонанс.

Наричат ​​се трептения, възникващи под въздействието на външна периодична сила принудени трептения. Външна периодична сила, наречена движеща сила, придава допълнителна енергия на осцилаторната система, която отива за попълване на загубите на енергия, възникващи поради триене. Ако движещата сила се променя с течение на времето според закона на синуса или косинуса, тогава принудените трептения ще бъдат хармонични и незатихващи.

За разлика от свободните трептения, когато системата получава енергия само веднъж (когато системата е изведена от равновесие), в случай на принудителни трептения системата поглъща тази енергия от източник на външна периодична сила непрекъснато. Тази енергия компенсира загубите, изразходвани за преодоляване на триенето, поради което общата енергия на осцилаторната система остава непроменена.

Честотата на принудителните трептения е равна на честотата на движещата сила. В случай, когато честотата на движещата сила υ съвпада със собствената честота на колебателната система υ 0 , има рязко увеличение на амплитудата на принудените трептения - резонанс. Резонанс възниква поради факта, че когато υ = υ 0 външната сила, действаща във времето със свободни вибрации, винаги е съобразена със скоростта на трептящото тяло и извършва положителна работа: енергията на трептящото тяло се увеличава и амплитудата на неговите трептения става голяма. Графика на амплитудата на принудените трептения А T върху честотата на движещата сила υ показана на фигурата, тази графика се нарича резонансна крива:

Феноменът на резонанса играе важна роля в редица природни, научни и индустриални процеси. Например, необходимо е да се вземе предвид явлението резонанс при проектирането на мостове, сгради и други конструкции, които изпитват вибрации при натоварване, в противен случай при определени условия тези конструкции могат да бъдат унищожени.

Механичните вибрации са движения на тялото, които се повтарят точно или приблизително през равни интервали от време. Основните характеристики на механичните вибрации са: преместване, амплитуда, честота, период. Преместването е отклонението на тялото от равновесното му положение. Амплитудата е модулът на максималното отклонение от равновесното положение. Честотата е броят на пълните трептения, извършени за единица време. Периодът е времето на едно пълно колебание, т.е. минималният период от време, през който процесът се повтаря. Периодът и честотата са свързани по отношение: v = 1/T. Най-простият вид трептене са хармоничните трептения, при които осцилиращата величина се променя във времето според закона на синуса или косинуса (фиг. 9). Свободните вибрации са тези, които възникват поради първоначално придадената енергия с последващо отсъствие на външни въздействия върху системата, извършваща вибрациите. Например, вибрации на товар върху резба (фиг. 10). Нека разгледаме процеса на преобразуване на енергия, като използваме примера за трептене на товар върху нишка (виж фиг. 10). Когато махалото се отклони от равновесното положение, то се издига на височина h спрямо нулевото ниво, следователно в точка А махалото
има потенциална енергия mgh. При преместване в равновесно положение, до точка O, височината намалява до нула, а скоростта на товара се увеличава, а в точка O цялата потенциална енергия mgh ще се превърне в кинетична енергия mv^2/2. В равновесие кинетичната енергия е максимална, а потенциалната енергия е минимална. След преминаване на равновесното положение кинетичната енергия се превръща в потенциална, скоростта на махалото намалява и при максимално отклонение от равновесното положение става равна на нула. При осцилаторно движение винаги възникват периодични трансформации на неговата кинетична и потенциална енергия.
При свободни механични вибрации неизбежно възниква загуба на енергия за преодоляване на съпротивителните сили. Ако колебанията възникват под въздействието на периодична външна сила, тогава такива колебания се наричат ​​принудителни. Например, родителите люлеят дете на люлка, бутало се движи в цилиндъра на автомобилен двигател, електрическо бръснач и игла на шевна машина вибрират. Характерът на принудените трептения зависи от характера на действието на външната сила, от нейната величина, посока, честота на действие и не зависи от размера и свойствата на трептящото тяло. Например, основата на двигателя, върху която е закрепен, извършва принудени трептения с честота, която се определя само от броя на оборотите на двигателя и не зависи от размера на основата.

Когато честотата на външната сила и честотата на собствените вибрации на тялото съвпадат, амплитудата на принудителните вибрации рязко се увеличава. Това явление се нарича механичен резонанс. Графично зависимостта на амплитудата на принудените трептения от честотата на външната сила е показана на фигура 11.
Явлението резонанс може да причини разрушаването на автомобили, сгради, мостове, ако собствените им честоти съвпадат с честотата на периодично действаща сила. Ето защо, например, двигателите в автомобилите са монтирани на специални амортисьори, а на военни части е забранено да поддържат темпото, когато се движат по моста.
При липса на триене амплитудата на принудените трептения по време на резонанс трябва да нараства с времето неограничено. В реалните системи амплитудата в стационарно състояние на резонанс се определя от условието за загуба на енергия през периода и работата на външната сила през същото време. Колкото по-малко е триенето, толкова по-голяма е амплитудата при резонанс.

Променя се във времето според синусоидален закон:

Където х- стойността на променливото количество в момента T, А- амплитуда, ω - кръгова честота, φ — начална фаза на трептенията, ( φt + φ ) - пълна фаза на трептенията. В същото време ценностите А, ω И φ - постоянен.

За механични вибрации с променлив магнитуд хса по-специално преместване и скорост, за електрически вибрации - напрежение и ток.

Хармоничните трептения заемат специално място сред всички видове трептения, тъй като това е единственият вид трептения, чиято форма не се изкривява при преминаване през хомогенна среда, т.е. вълните, разпространяващи се от източника на хармонични трептения, също ще бъдат хармонични. Всяко нехармонично трептене може да бъде представено като сума (интеграл) от различни хармонични трептения (под формата на спектър от хармонични трептения).

Енергийни трансформации при хармонични вибрации.

По време на процеса на трептене се осъществява пренос на потенциална енергия W pдо кинетичен седмицаи обратно. В позицията на максимално отклонение от равновесното положение потенциалната енергия е максимална, кинетичната енергия е нула. Когато се връща в равновесно положение, скоростта на трептящото тяло се увеличава, а с това се увеличава и кинетичната енергия, достигайки максимум в равновесното положение. Потенциалната енергия пада до нула. По-нататъшното движение се извършва с намаляване на скоростта, която пада до нула, когато отклонението достигне втория си максимум. Потенциалната енергия тук нараства до първоначалната си (максимална) стойност (при липса на триене). По този начин трептенията на кинетичната и потенциалната енергия възникват с двойна честота (в сравнение с трептенията на самото махало) и са в противофаза (т.е. между тях има фазово изместване, равно на π ). Обща вибрационна енергия Уостава непроменена. За тяло, трептящо под действието на еластична сила, то е равно на:

Където v m— максимална скорост на тялото (в равновесно положение), x m = А- амплитуда.

Поради наличието на триене и съпротивление на средата, свободните вибрации отслабват: тяхната енергия и амплитуда намаляват с времето. Следователно на практика принудителните трептения се използват по-често от свободните.

Нека разгледаме процеса на преобразуване на енергията по време на хармонично колебателно движение, използвайки примера на идеал (F tr =0)хоризонтално пружинно махало. Чрез отстраняване на тялото от равновесно положение, например чрез компресиране на пружина х=А,ние му даваме определен запас от потенциална енергия \(~W_(n_(0)) = \frac(kA^2)(2)\) (избираме хоризонталното ниво, на което се намира махалото, като нулево ниво за еталон на потенциалната енергия на махалото в силовото поле на гравитацията, тогава W p = 0). Когато едно тяло се премести в равновесно положение, потенциалната му енергия \(W_n = \frac(kx^2)(2)\) намалява, а кинетичната му енергия \(W_k = \frac(m \upsilon^2)(2) \) се увеличава, така че как деформацията на пружината намалява и скоростта на тялото се увеличава. В момента, в който тялото преминава през равновесното положение, потенциалната му енергия е нула, а кинетичната енергия \(W_(k_(0))=\frac(m \upsilon^2_max)(2)\) е максимална. След преминаване през равновесното положение скоростта на тялото намалява и пружината се разтяга. Следователно кинетичната енергия на тялото намалява, а потенциалната енергия се увеличава. В точката на максимално отклонение на тялото кинетичната му енергия е нула, а потенциалната енергия е максимална. По този начин по време на трептения периодично се случва преходът на потенциалната енергия в кинетична енергия и обратно. Общата механична енергия на пружинно махало е равна на сумата от неговата кинетична и потенциална енергия \(W = W_k + W_n.\)

Ако преместването на материална точка, извършваща хармонични трептения, се променя във времето според закона \(~x = A \cos \omega t,\), тогава проекцията на скоростта върху оста х\(~\upsilon_x = -\omega A \sin \omega t\) (вижте § 13.2). Следователно, кинетичната енергия по всяко време може да бъде дадена от функцията \(W_k = \frac(m \upsilon^2)(2) = \frac(m \omega^2 A^2 \sin^2 \omega t) (2 ) = \frac(m \omega^2 A^2)(4)(1- \cos 2 \omega t),\) и потенциалната енергия е функцията \(W_n = \frac(k x^2)( 2) = \frac( k A^2 \cos^2 \omega t)(2) = \frac(m \omega^2 A^2)(4)(1+ \cos 2 \omega t) ,\) тъй като \ (\omega^2 = \frac(k)(m)\), тогава \(~k = m \omega^2.\)

Обща енергия \(W = \frac(m \omega^2 A^2 \sin^2 \omega t)(2) + \frac(m \omega^2 A^2 \cos^2 \omega t)(2 ) = \frac(m \omega^2 A^2)(2) = \frac(kA^2)(2).\)

От тези формули става ясно, че W къмИ W pсъщо се променят според хармоничен закон, със същата амплитуда \(\frac(m \omega^2 A^2)(4)\) и в противофаза един с друг и с честота \(~2 \omega\) (фиг. 13.13), а общата механична енергия не се променя с времето. Тя е равна или на потенциалната енергия на тялото в момента на максимално отклонение, или на неговата кинетична енергия в момента на преминаване през равновесното положение:

\(W = \frac(kA^2)(2) = \frac(m \upsilon^2_m)(2) = \frac(m \omega^2 A^2)(2).\)

В реални условия махалото винаги е подложено на съпротивителни сили, така че общата енергия намалява, а свободните трептения на махалото затихват с времето, т.е. амплитудата им намалява до нула (фиг. 13.14).

Когато математическото махало трепти, общата енергия на системата се състои от кинетичната енергия на материална точка (топка) и потенциалната енергия на материална точка в полето на гравитационните сили. Когато пружинното махало се колебае, общата енергия се състои от кинетичната енергия на топката и потенциалната енергия на еластичната деформация на пружината:

При преминаване през равновесното положение както на първото, така и на второто махало кинетичната енергия на топката достига максимална стойност, а потенциалната енергия на системата е нула. По време на трептения възниква периодична трансформация на кинетичната енергия в потенциална енергия на системата; общата енергия на системата остава непроменена, ако няма съпротивителни сили (законът за запазване на механичната енергия). Например за пружинно махало можем да запишем:

В осцилаторна верига (фиг. 14.1.c) общата енергия на системата е сумата от енергията на зареден кондензатор (енергия на електрическото поле) и енергията на намотка с ток (енергия на магнитното поле. Когато зарядът на кондензатора е максимален, токът в намотката е нула (вижте формули 14.11 и 14.12), енергията на електрическото поле на кондензатора е максимална, енергията на магнитното поле на намотката е нула.В момента, когато зарядът на кондензатора е нула, токът в намотката е максимален, енергията на електрическото поле на кондензатора е нула, енергията на магнитното поле на намотката е максимална. Точно както при механичните осцилатори, в осцилаторната верига, енергията на електрическото поле периодично се преобразува в енергията на магнитното поле; общата енергия на системата остава непроменена, ако няма активно съпротивление Р. Можеш да пишеш:

. (14.15)

Ако по време на процеса на трептене външни съпротивителни сили действат върху математическо или пружинно махало и има активно съпротивление във веригата на колебателната верига Р, енергията на трептенията и следователно амплитудата на трептенията ще намалее. Такива трептения се наричат затихващи трептения , Фигура 14.2 показва графика на променливата стойност на X спрямо времето.

§ 16. Променлив електрически ток.

Вече сме запознати с източниците на постоянен ток, знаем за какво са необходими, знаем законите на постоянния ток. Но променливият електрически ток, който се използва в ежедневието, в производството и други области на човешката дейност, има много по-голямо практическо значение в живота ни. Силата на тока и напрежението на променлив ток (например в осветителната мрежа на нашия апартамент) се променят с времето според хармоничен закон. Индустриална AC честота – 50Hz. Източниците на променлив ток са разнообразни по своя дизайн и характеристики. Телена рамка, въртяща се в постоянно равномерно магнитно поле, може да се счита за най-простият модел на генератор на променлив ток. На фиг. 14.3 рамката се върти около вертикална ос ОО, перпендикулярна на линиите на магнитното поле, с постоянна ъглова скорост. Ъгъл α между вектора и нормалните промени според закона, магнитният поток през повърхността С, ограничена от рамката, се променя с времето, в рамката се появява индуцирана емф.