Разложение в ряд лорана элементарных функций. Разложение в ряд тейлора

Как вставить математические формулы на сайт?

Если нужно когда-никогда добавлять одну-две математические формулы на веб-страницу, то проще всего сделать это, как описано в статье : математические формулы легко вставляются на сайт в виде картинок, которые автоматически генерирует Вольфрам Альфа. Кроме простоты, этот универсальный способ поможет улучшить видимость сайта в поисковых системах. Он работает давно (и, думаю, будет работать вечно), но морально уже устарел.

Если же вы постоянно используете математические формулы на своем сайте, то я рекомендую вам использовать MathJax - специальную библиотеку JavaScript, которая отображает математические обозначения в веб-браузерах с использованием разметки MathML, LaTeX или ASCIIMathML.

Есть два способа, как начать использовать MathJax: (1) при помощи простого кода можно быстро подключить к вашему сайту скрипт MathJax, который будет в нужный момент автоматически подгружаться с удаленного сервера (список серверов ); (2) закачать скрипт MathJax с удаленного сервера на свой сервер и подключить ко всем страницам своего сайта. Второй способ - более более сложный и долгий - позволит ускорить загрузку страниц вашего сайта, и если родительский сервер MathJax по каким-то причинам станет временно недоступен, это никак не повлияет на ваш собственный сайт. Несмотря на эти преимущества, я выбрал первый способ, как более простой, быстрый и не требующий технических навыков. Следуйте моему примеру, и уже через 5 минут вы сможете использовать все возможности MathJax на своем сайте.

Подключить скрипт библиотеки MathJax с удаленного сервера можно при помощи двух вариантов кода, взятого на главном сайте MathJax или же на странице документации :

Один из этих вариантов кода нужно скопировать и вставить в код вашей веб-станицы, желательно между тегами и или же сразу после тега . По первому варианту MathJax подгружается быстрее и меньше тормозит страницу. Зато второй вариант автоматически отслеживает и подгружает свежие версии MathJax. Если вставить первый код, то его нужно будет периодически обновлять. Если вставить второй код, то страницы будут загружаться медленнее, зато вам не нужно будет постоянно следить за обновлениями MathJax.

Подключить MathJax проще всего в Blogger или WordPress: в панели управления сайтом добавьте виджет, предназначенный для вставки стороннего кода JavaScript, скопируйте в него первый или второй вариант кода загрузки, представленного выше, и разместите виджет поближе к началу шаблона (кстати, это вовсе не обязательно, поскольку скрипт MathJax загружается асинхронно). Вот и все. Теперь изучите синтаксис разметки MathML, LaTeX и ASCIIMathML, и вы готовы вставлять математические формулы на веб-страницы своего сайта.

Любой фрактал строится по определенному правилу, которое последовательно применяется неограниченное количество раз. Каждый такой раз называется итерацией.

Итеративный алгоритм построения губки Менгера достаточно простой: исходный куб со стороной 1 делится плоскостями, параллельными его граням, на 27 равных кубов. Из него удаляются один центральный куб и 6 прилежащих к нему по граням кубов. Получается множество, состоящее из 20 оставшихся меньших кубов. Поступая так же с каждым из этих кубов, получим множество, состоящее уже из 400 меньших кубов. Продолжая этот процесс бесконечно, получим губку Менгера.

Пусть функция - аналитическая в односвязной областис кусочно-гладкой границей
,
. Тогда функция
разлагается в степенной ряд по степеням
в круге
(расстояние от точки до границы области).

Доказательство. Точкалежит внутри, поэтому можно выбрать целиком лежит в области

.

Функция
- аналитическая ви на
. То есть
на.

.

и равномерно сходится по признаку Вейерштрасса в круге

. В самом деле, по следствию из интегральной формулы Коши

. Заметим, что точно так же записывался ряд Тейлора для функции действительной переменной:
. Таким образом, показано, что функция, аналитическая в круге, разлагается в нем в сходящийся степенной ряд. Это разложение единственно и оказываетсярядом Тейлора для данной функции. Коэффициенты разложения вычисляются однозначно по формулам

.

, где

. Таким образом, справедливынеравенства Коши для коэффициентов ряда Тейлора разложения функции в окрестности точки
. По следствию из интегральной теоремы Коши для многосвязной области здесьRможно выбрать любым, лишь быRне превышало расстояния от точкидо границы областиG.

Рядом Лорана называется ряд
=
+
.

Второе слагаемое представляет собой степенной ряд и, как всякий степенной ряд, сходится в круге
. Это слагаемое называетсяправильной частью ряда Лорана и является, как сумма степенного ряда аналитической функцией.

Первое слагаемое называется главной частью ряда Лорана. Делая в нем замену
, запишем главную часть в виде
. Относительно переменнойt

это – степенной ряд, сходящийся в некотором круге
. Возвращаясь к переменнойz, получим, что главная часть сходится во внешности круга, радиусаr:

. Ряд Лорана сходится в области, представляющей собой пересечение областей сходимости правильной и главной частей. Поэтомуобласть сходимости ряда Лорана представляет собой круговое кольцо
. Радиусы сходимостиr,Rопределяются для степенных рядов обычным образом, сходимость на границах кольца также исследуется, как в степенных рядах. Кольцо может быть вырождено, представлять собой окружность, еслиr= R или пустое множество, если r > R.

Функция
, аналитическая в круговом кольце
и на его границе,разлагается в нем в сходящийся ряд Лорана.

Рассмотрим круговое кольцо , построим внутри него еще одно круговое кольцо с радиусами так, что . Рассмотрим произвольную точкуво внутреннем кольце, проведем из нее, как из центра окружность радиусомтак, чтобы она лежала целиком внутри внутреннего кольца. По теореме Коши для многосвязной области = +

По интегральной формуле Коши
=
-
.

Рассмотрим отдельно каждое слагаемое.

1) В первом слагаемом повторим все выкладки из доказательства теоремы Тейлора, считая
,
.

Так как , то полученный ряд мажорируется сходящейся бесконечно убывающей геометрической прогрессией
и равномерно сходится по признаку Вейерштрасса в круге
.

Функция
- аналитическая на
, следовательно, она непрерывна и ограничена на. То есть
на.

Умножим полученный ряд на непрерывную ограниченную функцию
.

. Этот ряд мажорируется сходящейся бесконечно убывающей геометрической прогрессией
и равномерно сходится по признаку Вейерштрасса в круге
. Следовательно, его можно почленно интегрировать, получая сходящийся ряд.

, где коэффициенты ряда Тейлора равны

=

).

2) Рассмотрим второе слагаемое, полагая
,
.

Это справедливо, так как здесь
.

Функция
- аналитическая на
, следовательно, она непрерывна и ограничена на. То есть
на.

Умножим полученный ряд на непрерывную ограниченную функцию

. Этот ряд мажорируется сходящейся бесконечно

Этот ряд мажорируется сходящейся бесконечно убывающей геометрической прогрессией
и равномерно сходится по признаку Вейерштрасса во внешности круга
. Следовательно, его можно почленно интегрировать, получая сходящийся ряд.

, где коэффициенты ряда Тейлора равны
.
(По следствию из теоремы Коши для многосвязной области интегрирование поможно заменить интегрированием по
).

Складывая полученные разложения для двух слагаемых, получим разложение функции в ряд Лорана

, где коэффициенты ряда Лорана раны .
.

Для коэффициентов ряда Лорана аналогично выводятся неравенства Коши
.

Если функция f(x) имеет на некотором интервале, содержащем точку а, производные всех порядков, то к ней может быть применена формула Тейлора:
,
где r n – так называемый остаточный член или остаток ряда, его можно оценить с помощью формулы Лагранжа:
, где число x заключено между х и а.

f(x)=

в точке x 0 = Количество элементов ряда 3 4 5 6 7

Правила ввода функций :

Если для некоторого значения х r n →0 при n →∞, то в пределе формула Тейлора превращается для этого значения в сходящийся ряд Тейлора :
,
Таким образом, функция f(x) может быть разложена в ряд Тейлора в рассматриваемой точке х, если:
1) она имеет производные всех порядков;
2) построенный ряд сходится в этой точке.

При а =0 получаем ряд, называемый рядом Маклорена :
,
Разложение простейших (элементарных) функций в ряд Маклорена:
Показательные функции
, R=∞
Тригонометрические функции
, R=∞
, R=∞
, (-π/2 < x < π/2), R=π/2
Функция actgx не разлагается по степеням x, т.к. ctg0=∞
Гиперболические функции


Логарифмические функции
, -1