மோதிரங்கள். வயல்வெளிகள். மோதிரங்களின் ஐடியல்ஸ் மற்றும் ஹோமோமார்பிஸம். அத்தியாயம் IV. வளையங்கள் மற்றும் புலங்களின் கோட்பாட்டின் கூறுகள் §4.1. மோதிரங்கள், அவற்றின் முக்கிய வகைகள் மற்றும் பண்புகள் மோதிரங்களின் வரையறை மற்றும் முக்கிய பண்புகள்

(K,+, ·) ஒரு வளையமாக இருக்கட்டும். (K, +) ஒரு Abelian குழு என்பதால், நாம் பெறும் குழுக்களின் பண்புகளை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்கிறோம்

SV-VO 1. ஒவ்வொரு வளையத்திலும் (K,+, ·) ஒரு தனித்துவமான பூஜ்ஜிய உறுப்பு 0 உள்ளது மற்றும் ஒவ்வொரு ∈ K க்கும் அதற்கு எதிரே ஒரு தனித்துவமான உறுப்பு உள்ளது -a.

NE-VO 2. ∀ a, b, c ∈ K (a + b = a + c ⇒ b = c).

SV-VO 3. எந்த ஒரு a, b ∈ K வளையத்தில் K க்கும் ஒரு தனித்துவமான வேறுபாடு உள்ளது a - b, மற்றும் a − b = a + (−b). இவ்வாறு, கழித்தல் செயல்பாடு வளையம் K இல் வரையறுக்கப்படுகிறது, மேலும் இது 1′-8′ பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது.

SV-VO 4. K இல் உள்ள பெருக்கல் செயல்பாடு கழித்தல் செயல்பாட்டைப் பொறுத்து விநியோகிக்கப்படுகிறது, அதாவது. ∀ a, b, c ∈ K ((a - b)c = ac - bc ∧ c(a - b) = ca - cb).

டாக். a, b, c ∈ K. செயல்பாட்டின் பரவலைக் கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வோம். (a - b) + b)c = ac, வரையறையின்படி வேறுபாட்டின் அடிப்படையில் அது (a - b)c = ac - bc.

கழித்தல் செயல்பாட்டுடன் தொடர்புடைய பெருக்கல் செயல்பாட்டின் விநியோகத்தின் சரியான சட்டம் இதே வழியில் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

SV-V 5. ∀ a ∈ K a0 = 0a = 0.

ஆதாரம். a ∈ K மற்றும் ஒரு b-தன்னிச்சையான உறுப்பு K. பின்னர் b - b = 0 எனவே, முந்தைய சொத்தை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு, a0 = a(b - b) = ab - ab = 0 ஐப் பெறுவோம்.

0a = 0 என்பது இதே முறையில் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

NE-VO 6. ∀ a, b ∈ K (-a)b = a(-b) = −(ab).

ஆதாரம். a, b ∈ K. பிறகு (−a)b + ab = ((-a) + a)b =

0b = 0. எனவே, (-a)b = -(ab).

சமத்துவம் a(−b) = -(ab) இதே வழியில் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

NE-VO 7. ∀ a, b ∈ K (-a)(-b) = ab.

ஆதாரம். உண்மையில், முந்தைய சொத்தை இரண்டு முறை பயன்படுத்தினால், நாம் (-a)(-b) = -(a(-b)) = -(-(ab)) = ab ஐப் பெறுகிறோம்.

கருத்து. பண்புகள் 6 மற்றும் 7 வளையத்தில் உள்ள அறிகுறிகளின் விதிகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

கூட்டல் செயல்பாடு மற்றும் பண்புகள் 6 மற்றும் 7 ஆகியவற்றுடன் தொடர்புடைய வளைய K இல் உள்ள பெருக்கல் செயல்பாட்டின் விநியோகத்திலிருந்து, பின்வருபவை பின்வருமாறு:

SV-VO 8. k, l தன்னிச்சையான முழு எண்களாக இருக்கட்டும். பிறகு ∀ a, b ∈ K (ka)(lb) = (kl)ab.

சப்ரிங்

ஒரு வளையத்தின் உட்பிரிவு (K,+, ·) என்பது ஒரு தொகுப்பின் H இன் துணைக்குழு ஆகும், இது + மற்றும் · K இல் வரையறுக்கப்பட்ட செயல்பாடுகளின் கீழ் மூடப்பட்டு இந்த செயல்பாடுகளின் கீழ் ஒரு வளையமாகும்.

துணைப்பிரிவுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்:

எனவே, Z என்பது வளையத்தின் சப்ரிங் (Q,+, ·), Q என்பது வளையத்தின் சப்ரிங் (R,+, ·), Rn×n என்பது வளையத்தின் சப்ரிங் (Cn×n,+, ·) , Z[x] என்பது வளையத்தின் சப்ரிங் ( R[x],+, ·), D என்பது வளையத்தின் சப்ரிங் (C,+, ·).

எந்த வளையத்திலும் (K,+, ·), கே செட், அதே போல் சிங்கிள்டன் துணைக்குழு (0) ஆகியவை வளையத்தின் (K,+, ·) சப்ரிங்க்களாகும். இவை வளையத்தின் (K,+, ·) அற்பமான சப்ரிங்ஸ் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

சப்ரிங்ஸின் எளிமையான பண்புகள்.

H என்பது வளையத்தின் துணைப்பிரிவாக இருக்கட்டும் (K,+, ·), அதாவது. (H,+, ·) தானே ஒரு வளையம். இதன் பொருள் (H, +)-குழு, அதாவது. H என்பது குழுவின் துணைக்குழு (K, +). எனவே, பின்வரும் கூற்றுகள் உண்மை.

SV-VO 1. வளையம் K இன் சப்ரிங் H இன் பூஜ்ஜிய உறுப்பு K வளையத்தின் பூஜ்ஜிய உறுப்புடன் ஒத்துப்போகிறது.

SV-VO 2. K வளையத்தின் துணைப்பிரிவு H இன் எந்த உறுப்பு a க்கும், H இல் உள்ள அதன் எதிர் உறுப்பு −a உடன் ஒத்துப்போகிறது, அதாவது. K இல் அதன் எதிர் உறுப்புடன்.

SV-VO 3. துணைப்பிரிவு H இன் எந்த உறுப்புகளுக்கும் a மற்றும் b க்கும், H இல் உள்ள வேறுபாடு a − b உறுப்புடன் ஒத்துப்போகிறது, அதாவது. K இல் இந்த கூறுகளின் வேறுபாட்டுடன்.

ஒரு சப்ரிங் அறிகுறிகள்.

கோட்பாடு 1 (ஒரு துணைப்பிரிவின் முதல் அடையாளம்).

+ மற்றும் · செயல்பாடுகளுடன் கூடிய வளையம் K இன் காலியாக இல்லாத துணைக்குழு H என்பது பின்வரும் நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்தால் மட்டுமே வளையம் K இன் துணைக்குழு ஆகும்:

∀ a, b ∈ H a + b ∈ H, (1)

∀ a ∈ H - a ∈ H, (2)

∀ a, b ∈ H ab ∈ H. (3)

அவசியம். H என்பது வளையத்தின் துணைப்பிரிவாக இருக்கட்டும் (K,+, ·). பின்னர் H என்பது குழுவின் துணைக்குழுவாகும் (K, +). எனவே, துணைக்குழுவின் முதல் அளவுகோலின் மூலம் (சேர்க்கை உருவாக்கத்தில்), H நிபந்தனைகளை (1) மற்றும் (2) பூர்த்தி செய்கிறது. மேலும், K இல் வரையறுக்கப்பட்ட பெருக்கல் செயல்பாட்டின் கீழ் H மூடப்பட்டுள்ளது, அதாவது. எச்

நிபந்தனையையும் திருப்திப்படுத்துகிறது (3).

போதுமானது. H ⊂ K, H 6= ∅ மற்றும் H நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்யட்டும் (1) - (3). நிபந்தனைகளிலிருந்து (1) மற்றும் (2) துணைக்குழுவின் முதல் அளவுகோலின்படி H என்பது குழுவின் துணைக்குழு (K, +), அதாவது. (எச், +)-குழு. மேலும், (K, +) ஒரு Abelian குழு என்பதால், (H, +) என்பதும் Abelian ஆகும். கூடுதலாக, நிபந்தனையிலிருந்து (3) பெருக்கல் என்பது H தொகுப்பின் பைனரி செயல்பாடு. போன்ற பண்புகள் உள்ளன.

கோட்பாடு 2 (ஒரு துணைப்பிரிவின் இரண்டாவது அடையாளம்).

+ மற்றும் · என்பது செயல்பாடுகளுடன் கூடிய வளையம் K இன் காலியாக இல்லாத துணைக்குழு H

வளையம் K t மற்றும் t, இது பின்வரும் நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்யும் போது.

∀ a, b ∈ H a - b ∈ H, (4)

∀ a, b ∈ H ab ∈ H. (5)

இந்த தேற்றத்தின் ஆதாரம் தேற்றம் 1 இன் சான்றுக்கு ஒத்ததாகும்.

இந்த வழக்கில், தேற்றம் 2′ (சேர்க்கை உருவாக்கத்தில் ஒரு துணைக்குழுவின் இரண்டாவது அளவுகோல்) மற்றும் அதற்கு ஒரு குறிப்பு பயன்படுத்தப்படுகிறது.

7.Field (வரையறை, வகைகள், பண்புகள், பண்புகள்).

புலம் என்பது அடையாளத்துடன் கூடிய பரிமாற்ற வளையமாகும் e 0 க்கு சமமாக இல்லை , இதில் பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்ட ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் ஒரு தலைகீழ் உள்ளது.

எண் புலங்களின் கிளாசிக் எடுத்துக்காட்டுகள் புலங்கள் (Q,+, ·), (R,+, ·), (C,+, ·).

சொத்து 1 . ஒவ்வொரு துறையிலும்எஃப் சுருக்க விதி செல்லுபடியாகும்

பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்ட பொதுவான காரணி மூலம், அதாவது.

∀ a, b, c ∈ F (ab = ac ∧ a என்பது 0 ⇒ b = c க்கு சமம் அல்ல).

சொத்து 2 . ஒவ்வொரு துறையிலும்எஃப் பூஜ்ஜிய வகுப்பிகள் இல்லை.

சொத்து 3 . மோதிரம்(கே,+, ·) ஒரு துறையில் இருந்தால் மட்டுமே

பல இருக்கும் போதுகே\(0) பெருக்கத்தின் செயல்பாட்டைப் பொறுத்து பரிமாற்றக் குழுவாகும்.

சொத்து 4 . வரையறுக்கப்பட்ட பூஜ்ஜியமற்ற பரிமாற்ற வளையம்(கே,+, ·) பூஜ்ஜிய வகுப்பிகள் இல்லாமல் ஒரு புலம்.

புல உறுப்புகளின் அளவு.

(F,+, ·) ஒரு புலமாக இருக்கட்டும்.

பகுதி கூறுகள்அ மற்றும்பி வயல்வெளிகள்எஃப் , எங்கே b என்பது 0க்கு சமமாக இல்லை ,

அத்தகைய உறுப்பு அழைக்கப்படுகிறது c ∈ F , என்ன a = கி.மு .

சொத்து 1 . எந்த உறுப்புகளுக்கும்அ மற்றும்பி வயல்வெளிகள்எஃப் , எங்கே b என்பது 0க்கு சமமாக இல்லை , ஒரு தனித்துவமான விகுதி உள்ளது a/b , மற்றும் a/b= ab−1.

சொத்து 2 . ∀ a ∈ F \ (0)

a/a=e மற்றும்∀ a ∈ F a/e= a.

சொத்து 3 . ∀ a, c ∈ F ∀ b, d ∈ F \ (0)

a/b=c/d ⇔ ad = bc.

சொத்து 4 . ∀ a, c ∈ F ∀ b, d ∈ F \ (0)

சொத்து 5 . ∀ a ∈ F ∀ b, c, d ∈ F \ (0)

(a/b)/(c/d)=ad/bc

சொத்து 6 . ∀ a ∈ F ∀ b, c ∈ F \ (0)

சொத்து 7 . ∀ a ∈ F ∀ b, c ∈ F \ (0)

சொத்து 8 . ∀ a, b ∈ F ∀ c ∈ F \ (0)

களம்எஃப் , அதன் அலகு வரையறுக்கப்பட்ட வரிசையைக் கொண்டுள்ளதுப குழுவில்(F, +) ப .

களம்எஃப் அலகு, இது குழுவில் எல்லையற்ற வரிசையைக் கொண்டுள்ளது(F, +) , பண்பு புலம் என்று அழைக்கப்படுகிறது 0.

8. துணை புலம் (வரையறை, வகைகள், பண்புகள், பண்புகள்)

புல துணைப் புலம்(F,+, ·) துணைக்குழு என்று அழைக்கப்படுகிறதுஎஸ் அமைக்கிறதுஎஃப் , இது செயல்பாடுகளின் கீழ் மூடப்பட்டுள்ளது+ மற்றும்· , இல் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளதுஎஃப் , மற்றும் இந்த செயல்பாடுகளுடன் தொடர்புடைய ஒரு துறையாகும்.

புலத்தின் Q-துணைப்புலம் (R,+, ·);

புலத்தின் R-துணைப்புலம் (C,+, ·);

பின்வரும் கூற்றுகள் உண்மை.

சொத்து 1 . துணை புல உறுப்பு பூஜ்யம்எஸ் வயல்வெளிகள்எஃப் உடன் ஒத்துப்போகிறது

புலத்தின் பூஜ்ஜிய உறுப்புஎஃப் .

சொத்து 2 . ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும்அ துணை புலங்கள்எஸ் வயல்வெளிகள்எஃப் அதன் எதிர் உறுப்புஎஸ் உடன் ஒத்துப்போகிறது−a , அதாவது அதன் எதிர் உறுப்புடன்எஃப் .

சொத்து 3 . எந்த உறுப்புகளுக்கும்அ மற்றும்பி துணை புலங்கள்எஸ் வயல்வெளிகள்எஃப் அவர்களின்

உள்ள வேறுபாடுஎஸ் உடன் ஒத்துப்போகிறது a−b அந்த. இந்த உறுப்புகளின் வேறுபாட்டுடன்எஃப் .

சொத்து 4 . துணை புல அலகுஎஸ் வயல்வெளிகள்எஃப் ஒன்றோடு ஒத்துப்போகிறது

இ வயல்வெளிகள்எஃப் .

சொத்து 5 . ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும்அ துணை புலங்கள்எஸ் வயல்வெளிகள்எஃப் , இருந்து-

பூஜ்ஜியத்திலிருந்து தனிப்பட்டது, அதன் தலைகீழ் உறுப்புஎஸ் உடன் ஒத்துப்போகிறது a−1 , அதாவது தலைகீழ் உறுப்புடன்அ விஎஃப் .

துணை புலத்தின் அறிகுறிகள்.

கோட்பாடு 1 (ஒரு துணை புலத்தின் முதல் அடையாளம்).

துணைக்குழுஎச் வயல்வெளிகள்எஃப் செயல்பாடுகளுடன்+, · , பூஜ்யம் அல்லாதவற்றைக் கொண்டுள்ளது

(F,+, ·)

∀ a, b ∈ H a + b ∈ H, (1)

∀ a ∈ H - a ∈ H, (2)

∀ a, b ∈ H ab ∈ H, (3)

∀ a ∈ H \ (0) a−1 ∈ H. (4)

கோட்பாடு2 (துணைப்புலத்தின் இரண்டாவது அடையாளம்).

துணைக்குழுஎச் வயல்வெளிகள்எஃப் செயல்பாடுகளுடன்+, · , பூஜ்யம் அல்லாதவற்றைக் கொண்டுள்ளது

உறுப்பு என்பது புலத்தின் துணைப் புலமாகும்(F,+, ·) பின்வரும் நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்தால் மட்டுமே:

∀ a, b ∈ H a - b ∈ H, (5)

∀ a ∈ H ∀ b ∈ H\(0) a/b ∈ H. (6)

10. Z வளையத்தில் வகுக்கும் உறவு

அறிக்கை: R தொகுப்பில் உள்ள பரிமாற்ற வளையத்தின் a,b,c எந்த உறுப்புகளுக்கும், பின்வரும் தாக்கங்கள் உள்ளன:

1) a|b, b|c => a|c

2) a|b, a|c => a| (பி சி)

3) a|b => a|bc

ஏதேனும் a, b Z க்கு பின்வருபவை உண்மை:

2) a|b, b≠0 => |a|≤|b|

3)a|b மற்றும் b|a ó |a|=|b|

முழு எண் a ஐ முழு எண்ணாக b ஆல் பிரிப்பது என்பது q மற்றும் r ஆகிய முழு எண்களைக் கண்டறிவதாகும், இதன் மூலம் நீங்கள் a=b*q + r, 0≤r≥|b| ஐக் குறிக்கலாம், இதில் q என்பது முழுமையற்ற பகுதி, r என்பது மீதி

தேற்றம்: a மற்றும் b Z, b≠0 எனில், ஒரு மீதியைக் கொண்டு a ஐ b ஆல் வகுக்க முடியும், மேலும் முழுமையடையாத பகுதியும் மீதியும் தனித்துவமாக தீர்மானிக்கப்படும்.

இணை, a மற்றும் b Z , b≠0 எனில், b|a ó

11. GCD மற்றும் NOC

Z எண்களின் மிகப் பெரிய பொது வகுப்பான் (GCD) பின்வரும் நிபந்தனைகளைப் பூர்த்தி செய்யும் சில எண் d ஆகும்

1) d என்பது ஒரு பொதுவான வகுப்பி, அதாவது. ஈ| ,d| …டி|

2) d என்பது எண்களின் பொதுவான வகுப்பினால் வகுபடும், அதாவது. ஈ| ,d| …டி| =>d| ,d| …டி|

வரையறை 2.5. மோதிரம்அழைக்கப்பட்டது இயற்கணிதம்

ஆர் = (ஆர், +, ⋅, 0 , 1 ),

யாருடைய கையொப்பம் இரண்டு பைனரி மற்றும் இரண்டு நுல்லரி செயல்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் ஏதேனும் a, b, c ∈ R க்கு பின்வரும் சமத்துவங்கள் உள்ளன:

1. a+(b+c) = (a+b)+c;
2. a+b = b+a;
3. a + 0 = ஒரு;
4. ஒவ்வொரு a ∈ R க்கும் ஒரு உறுப்பு a" உள்ளது, அதாவது a+a" = 0
5. a-(b-c) = (a-b)-c;
6. ஒரு ⋅ 1 = 1 ⋅ a = a;
7. a⋅(b + c) = a⋅b + a⋅c, (b + c) ⋅ a = b⋅ a + c⋅a.

செயல்பாடு + அழைக்கப்படுகிறது மோதிரத்தைச் சேர்க்கிறது , அறுவை சிகிச்சை வளைய பெருக்கல் , உறுப்பு 0 - வளையத்தின் பூஜ்யம் , உறுப்பு 1 - வளைய அலகு .

வரையறையில் குறிப்பிடப்பட்ட 1-7 சமநிலைகள் அழைக்கப்படுகின்றன வளையத்தின் கோட்பாடுகள் . கருத்தின் பார்வையில் இருந்து இந்த சமத்துவங்களைக் கருத்தில் கொள்வோம் குழுக்கள்மற்றும் மோனோயிட்.

வளைய கோட்பாடுகள் 1-4 என்பது இயற்கணிதம் (R, +, 0 ), இதில் கையொப்பம் வளையம் + மற்றும் மோதிரத்தின் பூஜ்ஜியத்தை சேர்ப்பதற்கான செயல்பாடுகளை மட்டுமே கொண்டுள்ளது. 0 , உள்ளது அபிலியன் குழு. இந்த குழு அழைக்கப்படுகிறது வளையத்தின் சேர்க்கை குழு ஆர் மேலும் அவர்கள் கூடுதலான முறையில் மோதிரம் ஒரு மாற்று (Abelian) குழு என்றும் கூறுகிறார்கள்.

மோதிர கோட்பாடுகள் 5 மற்றும் 6 இயற்கணிதம் (R, ⋅, 1), அதன் கையொப்பம் மோதிரத்தின் பெருக்கல் மற்றும் வளையம் 1 இன் அடையாளத்தை மட்டுமே உள்ளடக்கியது என்பதைக் காட்டுகிறது. இந்த மோனோயிட் என்று அழைக்கப்படுகிறது மோதிரத்தின் பெருக்கல் மோனாய்டு R பெருக்கல் மூலம் ஒரு மோதிரம் ஒரு மோனாய்டு என்று அவர்கள் கூறுகிறார்கள்.

ஒரு வளையத்தைச் சேர்ப்பதற்கும் ஒரு வளையத்தை பெருக்குவதற்கும் இடையே உள்ள தொடர்பு ஆக்ஸியம் 7 ஆல் நிறுவப்பட்டது, இதன்படி பெருக்கத்தின் செயல்பாடு கூட்டலின் செயல்பாட்டைப் பொறுத்து விநியோகிக்கப்படுகிறது.

மேலே உள்ளவற்றைக் கருத்தில் கொண்டு, மோதிரம் என்பது இரண்டு பைனரி மற்றும் இரண்டு நுல்லரி செயல்பாடுகளைக் கொண்ட ஒரு இயற்கணிதம் என்பதைக் கவனத்தில் கொள்கிறோம். ஆர் =(ஆர், +, ⋅, 0 , 1 ), அது போன்ற:

1. இயற்கணிதம் (R, +, 0 ) - பரிமாற்றக் குழு;
2. இயற்கணிதம் (R, ⋅, 1 ) - மோனோயிட்;
3. செயல்பாடு ⋅ (ஒரு வளையத்தின் பெருக்கல்) செயல்பாடு + (ஒரு வளையத்தைச் சேர்த்தல்) தொடர்பாக விநியோகிக்கப்படுகிறது.

குறிப்பு 2.2.இலக்கியத்தில் பெருக்கல் தொடர்பான வளைய கோட்பாடுகளின் வேறுபட்ட கலவை உள்ளது. எனவே, கோட்பாடு 6 இல்லாமல் இருக்கலாம் (இல்லை 1 ) மற்றும் ஆக்சியம் 5 (பெருக்கல் தொடர்புடையது அல்ல). இந்த வழக்கில், துணை வளையங்கள் வேறுபடுகின்றன (இணைப்பு பெருக்கத்தின் தேவை வளையத்தின் கோட்பாடுகளில் சேர்க்கப்படுகிறது) மற்றும் ஒற்றுமையுடன் மோதிரங்கள். பிந்தைய வழக்கில், பெருக்கத்தின் தொடர்பு மற்றும் ஒரு அலகு இருப்பு ஆகியவற்றின் தேவைகள் சேர்க்கப்படுகின்றன.

வரையறை 2.6.மோதிரம் அழைக்கப்படுகிறது மாற்றத்தக்க , அதன் பெருக்கல் செயல்பாடு பரிமாற்றமாக இருந்தால்.

எடுத்துக்காட்டு 2.12. ஏ.இயற்கணிதம் (ℤ, +, ⋅, 0, 1) என்பது பரிமாற்ற வளையமாகும். இயற்கணிதம் (ℕ 0, +, ⋅, 0, 1) வளையமாக இருக்காது, ஏனெனில் (ℕ 0, +) ஒரு பரிமாற்ற மோனாய்டு, ஆனால் ஒரு குழு அல்ல.

பி.இயற்கணிதம் ℤ k = ((0,1,..., k - 1), ⊕ k , ⨀ k , 0,1) (k>1) செயல்பாடு ⊕ k இன் கூட்டல் மாடுலோ l மற்றும் ⨀ k (பெருக்கல்) மாடுலோ எல்). பிந்தையது கூட்டல் மாடுலோ l இன் செயல்பாட்டைப் போன்றது: m ⨀ k n என்பது m ⋅ n எண்ணின் k ஆல் வகுத்த மீதமுள்ள பகுதிக்கு சமம். இந்த இயற்கணிதம் ஒரு பரிமாற்ற வளையமாகும், இது அழைக்கப்படுகிறது எச்சங்களின் வளையம் மாடுலோ கே.

வி.இயற்கணிதம் (2 A, Δ, ∩, ∅, A) என்பது ஒரு பரிமாற்ற வளையமாகும், இது செட்களின் வெட்டும் மற்றும் சமச்சீர் வேறுபாட்டின் பண்புகளிலிருந்து பின்பற்றப்படுகிறது.

ஜி.பரிமாற்றமற்ற வளையத்தின் உதாரணம், அணி கூட்டல் மற்றும் பெருக்கல் செயல்பாடுகளுடன் நிலையான வரிசையின் அனைத்து சதுர மெட்ரிக்குகளின் தொகுப்பை வழங்குகிறது. இந்த வளையத்தின் அலகு அடையாள அணி, மற்றும் பூஜ்ஜியம் பூஜ்ஜிய அணி.

ஈ.விடுங்கள் எல்- நேரியல் இடம். இந்த இடத்தில் செயல்படும் அனைத்து நேரியல் ஆபரேட்டர்களின் தொகுப்பைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

என்பதை நினைவு கூர்வோம் தொகைஇரண்டு நேரியல் இயக்கிகள் ஏமற்றும் INஆபரேட்டர் என்று அழைக்கப்படுகிறது ஏ + பி, அது போன்ற ( ஏ + IN) எக்ஸ் = ஓ +இல், எக்ஸ்∈ எல்.

நேரியல் ஆபரேட்டர்களின் தயாரிப்பு ஏமற்றும் INலீனியர்-லீனியர் ஆபரேட்டர் என்று அழைக்கப்படுகிறது ஏபி, அது போன்ற ( ஏபி)எக்ஸ் = ஏ(இல்) யாருக்கும் எக்ஸ் ∈ எல்.

நேரியல் ஆபரேட்டர்களில் சுட்டிக்காட்டப்பட்ட செயல்பாடுகளின் பண்புகளைப் பயன்படுத்தி, விண்வெளியில் செயல்படும் அனைத்து நேரியல் ஆபரேட்டர்களின் தொகுப்பைக் காட்டலாம். எல், ஆபரேட்டர்களின் கூட்டல் மற்றும் பெருக்கத்தின் செயல்பாடுகளுடன் சேர்ந்து, ஒரு வளையத்தை உருவாக்குகிறது. இந்த வளையத்தின் பூஜ்ஜியம் பூஜ்ய ஆபரேட்டர், மற்றும் அலகு மூலம் - அடையாள ஆபரேட்டர்.

இந்த மோதிரம் என்று அழைக்கப்படுகிறது நேரியல் ஆபரேட்டர்களின் வளையம் நேரியல் இடத்தில் எல். #

மோதிரக் கோட்பாடுகள் என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன மோதிரத்தின் அடிப்படை அடையாளங்கள் . மோதிர அடையாளம் என்பது ஒரு சமத்துவமாகும், அதில் தோன்றும் மாறிகளுக்கு மோதிரத்தின் ஏதேனும் கூறுகள் மாற்றாக இருக்கும்போது அதன் செல்லுபடியாகும். அடிப்படை அடையாளங்கள் முன்வைக்கப்படுகின்றன, மேலும் அவற்றிலிருந்து பிற அடையாளங்களை அதன் பின்விளைவுகளாகக் கழிக்க முடியும். அவற்றில் சிலவற்றைப் பார்ப்போம்.

ஒரு வளையத்தின் சேர்க்கை குழு பரிமாற்றம் மற்றும் செயல்பாடு என்பதை நினைவில் கொள்க கழித்தல்.

தேற்றம் 2.8.எந்த வளையத்திலும் பின்வரும் அடையாளங்கள் உள்ளன:

1. 0 ⋅ a = a ⋅ 0 = 0 ;
2. (-a) ⋅ b = -(a ⋅ b) = a ⋅ (-b);
3. (a-b) ⋅ c = a ⋅ c - b ⋅ c, c ⋅ (a-b) = c ⋅ a - c ⋅ b.

◀அடையாளத்தை நிரூபிப்போம் 0 ⋅ a = 0 . தன்னிச்சையான a க்கு எழுதுவோம்:

a+ 0 ⋅ a = 1 ⋅ a + 0 ⋅ a = ( 1 +0 ) ⋅ a = 1 ⋅ a = a

எனவே, ஒரு + 0 ⋅ a = a. அறியப்படாத உறுப்பைப் பொறுத்து ஒரு வளையத்தின் சேர்க்கைக் குழுவில் கடைசி சமத்துவம் ஒரு சமன்பாடாகக் கருதப்படலாம். 0 ⋅ ஏ. சேர்ப்புக் குழுவில் a + x = b வடிவத்தின் எந்தச் சமன்பாடும் x = b - a என்ற தனித்துவமான தீர்வைக் கொண்டிருப்பதால் 0 ⋅ a = a - a = 0 . அடையாளம் a⋅ 0 = 0 அதே வழியில் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

இப்போது அடையாளத்தை நிரூபிப்போம் - (a ⋅ b) = a ⋅ (-b). எங்களிடம் உள்ளது

a ⋅ (-b)+a ⋅ b = a ⋅ ((-b) + b) = a ⋅ 0 = 0 ,

எங்கிருந்து a ⋅ (-b) = -(a ⋅ b). அதே வழியில், (-a) ⋅ b = -(a ⋅ b) என்பதை ஒருவர் நிரூபிக்க முடியும்.

மூன்றாவது ஜோடி அடையாளங்களை நிரூபிப்போம். அவற்றில் முதலாவதாகக் கருதுவோம். மேலே நிரூபிக்கப்பட்டதை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டால், எங்களிடம் உள்ளது

a ⋅ (b - c) = a ⋅ (b+(-c)) = a ⋅ b + a ⋅ (-c) =a ⋅ b - a ⋅ c,

அந்த. அடையாளம் உண்மை. இந்த ஜோடியின் இரண்டாவது அடையாளம் இதேபோல் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

முடிவு 2.1. எந்த வளையத்திலும் அடையாளம் ( -1 ) ⋅ x = x ⋅ ( -1 ) = -x.

◀ஒரு = க்கு தேற்றம் 2.8 இன் இரண்டாவது அடையாளத்திலிருந்து சுட்டிக்காட்டப்பட்ட தொடர்ச்சி பின்வருமாறு 1 மற்றும் b = x.

தேற்றம் 2.8 இல் நிரூபிக்கப்பட்ட முதல் இரண்டு அடையாளங்கள் ஒரு சொத்தை வெளிப்படுத்துகின்றன பூஜ்ஜியத்தின் சொத்து ரத்து வளையத்தில். இந்த தேற்றத்தின் மூன்றாவது ஜோடி அடையாளங்கள், கழித்தல் செயல்பாட்டைப் பொறுத்து ஒரு வளையத்தின் பெருக்கத்தின் செயல்பாட்டின் விநியோக பண்புகளை வெளிப்படுத்துகிறது. இவ்வாறு, எந்த வளையத்திலும் கணக்கீடுகளைச் செய்யும்போது, ​​அடைப்புக்குறிகளைத் திறந்து, உண்மையான எண்களைச் சேர்க்கும்போது, ​​கழிக்கும்போது மற்றும் பெருக்கும்போது அதே வழியில் அடையாளங்களை மாற்றலாம்.

வளையத்தின் பூஜ்ஜியமற்ற கூறுகள் a மற்றும் b ஆர்அழைக்கப்பட்டது பிரிப்பான்கள் பூஜ்யம் , a ⋅ b = என்றால் 0 அல்லது b ⋅ a = 0 . பூஜ்ஜிய வகுப்பி கொண்ட வளையத்தின் உதாரணம் எதையும் கொடுக்கிறது மாடுலோ எச்ச வளையம் k என்றால் k என்பது ஒரு கூட்டு எண்ணாகும். இந்த வழக்கில், சாதாரண பெருக்கத்தின் போது k இன் பெருக்கத்தை வழங்கும் எந்த வகையின் தயாரிப்பு மாடுலோ k பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும். எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு எச்ச வளைய மாடுலோ 6 இல், உறுப்புகள் 2 மற்றும் 3 பூஜ்ஜிய வகுப்பிகள், ஏனெனில் 2 ⨀ 6 3 = 0. மற்றொரு உதாரணம் நிலையான வரிசையின் (குறைந்தபட்சம் இரண்டு) சதுர மெட்ரிக்குகளின் வளையத்தால் வழங்கப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, இரண்டாம் வரிசை மெட்ரிக்குகளுக்கு எங்களிடம் உள்ளது

a மற்றும் b ஆகியவை பூஜ்ஜியமாக இல்லாதபோது, ​​கொடுக்கப்பட்ட மெட்ரிக்குகள் பூஜ்ஜிய வகுப்பிகள்.

பெருக்கல் மூலம், ஒரு மோதிரம் ஒரு மோனாய்டு மட்டுமே. கேள்வியை முன்வைப்போம்: எந்த சந்தர்ப்பங்களில் ஒரு பெருக்கல் வளையம் ஒரு குழுவாக இருக்கும்? 0 ≠ 1 முதலில், வளையத்தின் அனைத்து கூறுகளின் தொகுப்பு இதில் உள்ளது என்பதை நினைவில் கொள்க 0" , பூஜ்ஜியத்திற்கு தலைகீழ் இருக்க முடியாது என்பதால், பெருக்கல் குழுக்களை உருவாக்க முடியாது. உண்மையில், அத்தகைய உறுப்பு என்று நாம் கருதினால் 0 ⋅ 0" = 0" ⋅ 0 = 1 உள்ளது, ஒருபுறம், 0 ⋅ 0" = 0" ⋅ 0 = 0 , மற்றும் மறுபுறம் - 0 ≠ 1 , இதிலிருந்து 0 = 1. இது நிபந்தனைக்கு முரணானது

ஒரு வளையத்தில் பூஜ்ஜிய வகுப்பிகள் இருந்தால், வளையத்தின் அனைத்து பூஜ்ஜியமற்ற உறுப்புகளின் துணைக்குழு பெருக்கல் குழுவை உருவாக்காது, ஏனெனில் இந்த துணைக்குழு பெருக்கல் செயல்பாட்டின் கீழ் மூடப்படவில்லை என்றால், அதாவது. பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமான தயாரிப்பு பூஜ்ஜியமற்ற கூறுகள் உள்ளன.

பெருக்கல் மூலம் பூஜ்ஜியம் அல்லாத அனைத்து உறுப்புகளின் தொகுப்பு ஒரு குழுவை உருவாக்கும் வளையம் என்று அழைக்கப்படுகிறது உடல் , மாற்று உடல் - களம் , மற்றும் பெருக்கல் மூலம் உடலின் (புலம்) பூஜ்ஜியமற்ற கூறுகளின் குழு - பெருக்கல் குழு இது உடல் (வயல்வெளிகள்) வரையறையின்படி, ஒரு புலம் என்பது ஒரு வளையத்தின் ஒரு சிறப்பு நிகழ்வாகும், இதில் செயல்பாடுகள் கூடுதல் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளன. களச் செயல்பாடுகளுக்குத் தேவையான அனைத்து பண்புகளையும் எழுதுவோம். அவர்கள் என்றும் அழைக்கப்படுகிறார்கள் புல கோட்பாடுகள் .

புலம் ஒரு இயற்கணிதம் F = (F, +, ⋅, 0, 1), இதில் கையொப்பம் இரண்டு பைனரி மற்றும் இரண்டு நுல்லரி செயல்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் அடையாளங்கள் செல்லுபடியாகும்:

1. a+(b+c) = (a+b)+c;
2. a+b = b+a;
3. a+0 = a;
4. ஒவ்வொரு a ∈ F க்கும் ஒரு உறுப்பு உள்ளது -a அதாவது a+ (-a) = 0;
5. a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c;
6. a ⋅ b = b ⋅ a
7. a ⋅ 1 = 1 ⋅ a = a
8. 0 இலிருந்து வேறுபட்ட ஒவ்வொரு a ∈ F க்கும், a -1 என்ற உறுப்பு உள்ளது, அதாவது a ⋅ a -1 = 1;
9. a ⋅ (b+c) = a ⋅ b + a ⋅ c.

எடுத்துக்காட்டு 2.13. ஏ.இயற்கணிதம் (ℚ, +, ⋅, 0, 1) எனப்படும் புலம் பகுத்தறிவு எண்களின் புலம் .

பி. இயற்கணிதங்கள் (ℝ, +, ⋅, 0, 1) மற்றும் (ℂ, +, ⋅, 0, 1) புலங்கள் எனப்படும் உண்மையான மற்றும் சிக்கலான எண்களின் புலங்கள் முறையே.

வி. புலம் அல்லாத உடலுக்கான உதாரணம் இயற்கணிதம் குவாட்டர்னியன்கள் . #

எனவே, புலக் கோட்பாடுகள் எண்களின் கூட்டல் மற்றும் பெருக்கலின் அறியப்பட்ட விதிகளுக்கு ஒத்திருப்பதைக் காண்கிறோம். எண் கணக்கீடுகளைச் செய்யும்போது, ​​​​நாங்கள் "புலங்களில் வேலை செய்கிறோம்," அதாவது, நாங்கள் முதன்மையாக பகுத்தறிவு மற்றும் உண்மையான எண்களின் புலங்களைக் கையாளுகிறோம், சில நேரங்களில் நாம் சிக்கலான எண்களின் புலத்திற்கு "நகர்கிறோம்".

ஒரு மோதிரத்தின் கருத்து, மோதிரங்களின் எளிமையான பண்புகள்.

இயற்கணிதம் ( கே, +, ∙) பின்வரும் கோட்பாடுகள் இருந்தால் வளையம் என்று அழைக்கப்படுகிறது:

1. (கே, +) - பரிமாற்றக் குழு;

2.
அ (b+c) = ab+ac (b+c)அ = ba+ca;

3. அ (கி.மு) = (ab) c.

ஒரு வளையத்தில் பெருக்கலின் செயல்பாடு பரிமாற்றமாக இருந்தால், அந்த வளையம் பரிமாற்றம் எனப்படும்.

உதாரணம்.இயற்கணிதம் (Z, +, ∙), ( கே, +, ∙), (ஆர், + ,∙) என்பது வளையங்கள்.

வளையம் பின்வரும் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது: உள்ளது

1) அ + பி = அ => பி = 0;

2) அ+ ஆ = 0 => பி = - அ;

3) – (- அ) = அ;

4) 0∙அ = அ∙0 = 0 (0 - மோதிரம் பூஜ்யம்);

5) (-அ)∙பி = அ∙(-பி) = -அ∙பி;

6) (அ – பி)∙c = அ∙c – பி∙c, எங்கே அ–பி = அ + (-b).

சொத்தை நிரூபிப்போம் 6. ( a–b)∙c = (a+ (-பி))∙c = அ∙c+ (-பி)∙c = அ∙c +(-பி∙c)= =அ∙c-b∙c.

விடு ( கே ஏ கேவளையத்தின் சப்ரிங் என்று அழைக்கப்படுகிறது ( கே,+,∙) அது வளையத்தில் உள்ள செயல்பாடுகளைப் பொறுத்து வளையமாக இருந்தால் ( கே, +, ∙).

தேற்றம்.விடு ( கே, +, ∙) – மோதிரம். காலியாக இல்லாத துணைக்குழு ஏ கே, மோதிரத்தின் சப்ரிங் ஆகும் TOபின்னர் மற்றும் எப்போது மட்டுமே
அ- பி, அ∙பி
.

உதாரணம்.வளையம் (Q, +, ∙) என்பது மோதிரத்தின் துணைப்பிரிவு ( ஏ, +, ∙), எங்கே ஏ = ={அ+ பி | அ, பிகே).

ஒரு துறையின் கருத்து. புலங்களின் எளிமையான பண்புகள்.

வரையறை.பரிமாற்ற வளையம் ( ஆர், +, ∙) ஒன்றுடன், மோதிரத்தின் பூஜ்ஜியம் வளையத்தின் அடையாளத்துடன் ஒத்துப்போகவில்லை என்றால், புலம் எனப்படும்
அ≠0 ஒரு தலைகீழ் உறுப்பு உள்ளது ஏ -1 , ஏ∙ ஏ -1 = இ, இ- வளையத்தின் அலகு.

வளையங்களின் அனைத்து பண்புகளும் புலங்களுக்கு செல்லுபடியாகும். புலத்திற்கு ( ஆர்,+,∙) பின்வரும் பண்புகள் செல்லுபடியாகும்:

1)
அ≠0 சமன்பாடு ஆ =பிஒரு தீர்வு மற்றும், மேலும், ஒரு தனித்துவமானது;

2) ab = இ |=> அ≠0 b =ஏ -1 ;

3)

c≠0 ஏசி = கி.மு => a=b;

4)ab = 0
அ = 0 பி = 0;

5) விளம்பரம் = கி.மு (பி≠0, ஈ≠0);

6)
;

.

உதாரணம்.இயற்கணிதம் (Q, +, ∙), ( ஏ, +, ∙), எங்கே ஏ = {அ+பி | அ, பிகே), ( ஆர், +, ∙) - புலங்கள்.

விடு ( ஆர்,+,∙) - புலம். காலியாக இல்லாத துணைக்குழு எஃப் பி, இது புலத்தில் செயல்பாட்டுடன் தொடர்புடைய ஒரு புலம் ( ஆர்,+,∙) புலத்தின் துணைப் புலம் எனப்படும் ஆர்.

உதாரணம்.புலம் (Q,+,∙) என்பது உண்மையான எண்களின் புலத்தின் (R,+,∙) துணைப் புலமாகும்.

சுயாதீனமாக தீர்க்க வேண்டிய சிக்கல்கள்

1. பெருக்கல் செயல்பாட்டைப் பொறுத்தமட்டில் ஒரு தொகுப்பு ஒரு ஏபிலியன் குழு என்று காட்டவும்.

2. செயல்பாடு Q\(0) தொகுப்பில் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது ஏபி =
. இயற்கணிதம் (Q\(0),) ஒரு குழு என்பதை நிரூபிக்கவும்.

3. Z தொகுப்பில், ஒரு பைனரி இயற்கணித செயல்பாடு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது, இது விதியால் வரையறுக்கப்படுகிறது, ஏபி = a+பி – 2. இயற்கணிதம் (Z,) ஒரு குழுவா என்பதைக் கண்டறியவும்.

4. தொகுப்பில் ஏ = {(அ, பி)
) செயல்பாடு வரையறுக்கப்பட்டது ( ஏ,பி) (c, ஈ) = (ஏசி– bd, விளம்பரம்+ கி.மு) இயற்கணிதம் ( ஏ,) - குழு.

5. விடுங்கள் டி- அனைத்து வரைபடங்களின் தொகுப்பு
விதியால் வழங்கப்பட்டது
, எங்கே ஏ,பிகே, அ
என்பதை நிரூபியுங்கள் டிவரைபடங்களின் கலவையைப் பொறுத்து ஒரு குழுவாகும்.

6. விடுங்கள் ஏ={1,2,…,n) ஒன்றுக்கு ஒன்று மேப்பிங் f:
மாற்று என்று அழைக்கப்படுகிறது n- ஓ பட்டம். மாற்று n- ஓ பட்டம் அட்டவணை வடிவில் எழுத வசதியாக உள்ளது
, இரண்டு மாற்றுகளின் தயாரிப்பு
அமைக்கிறது ஏவரைபடங்களின் கலவை என வரையறுக்கப்படுகிறது. வரையறையின்படி

அனைத்து மாற்றுகளின் தொகுப்பு என்பதை நிரூபிக்கவும் n- ஓ பட்டம் மாற்றீடுகளின் தயாரிப்பின் கீழ் ஒரு குழுவாகும்.

7. கூட்டல் மற்றும் பெருக்கத்துடன் மோதிரம் உருவாகிறதா என்பதைக் கண்டறியவும்:

அ) என்; பி) அனைத்து ஒற்றைப்படை முழு எண்களின் தொகுப்பு; c) அனைத்து இரட்டை எண்களின் தொகுப்பு; ஈ) படிவத்தின் எண்களின் தொகுப்பு
எங்கே ஏ,பி

8. ஒரு செட் ஒரு வளையமா? TO={ஏ+பி
) கூட்டல் மற்றும் பெருக்கல் செயல்பாடுகள் குறித்து.

9. தொகுப்பு என்று காட்டு ஏ={அ+பி) கூட்டல் மற்றும் பெருக்கல் செயல்பாடுகளைப் பொறுத்தவரை ஒரு வளையம் உள்ளது.

10. தொகுப்பில் Zஇரண்டு செயல்பாடுகள் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளன: அபி=அ+பி+1, ab= ab+ அ+ பி. அந்த இயற்கணிதம் நிரூபிக்கவும்

11. மாடுலோ எச்ச வகுப்புகளின் தொகுப்பில் மீஇரண்டு பைனரி செயல்பாடுகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன: இயற்கணிதம் என்பதை நிரூபிக்கவும்
அடையாளத்துடன் பரிமாற்ற வளையம்.

12. வளையத்தின் அனைத்து சப்ரிங்க்களையும் விவரிக்கவும்
.

13. கூட்டல் மற்றும் பெருக்கலின் செயல்பாடுகளைப் பொறுத்தமட்டில் பின்வரும் மெய் எண்களின் தொகுப்புகளில் எது புலங்கள் என்பதைக் கண்டறியவும்:

அ) ஒற்றைப்படை பிரிவுகளுடன் கூடிய பகுத்தறிவு எண்கள்;

பி) படிவத்தின் எண்கள்
பகுத்தறிவுடன் ஏ,பி;

c) படிவத்தின் எண்கள்
பகுத்தறிவுடன் ஏ, பி;

ஈ) படிவத்தின் எண்கள்
பகுத்தறிவுடன் அ, பி, c.

§5. கலப்பு எண்களின் புலம். சிக்கலான செயல்பாடுகள்

இயற்கணித வடிவத்தில் எண்கள்

சிக்கலான எண் புலம்.

இரண்டு இயற்கணிதங்கள் ( ஏ,+,∙), (Ā , ,◦). காட்சி f: ஏ உள்ளே (ஆன்) >Ā , நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்தல்:
f(அ+பி) = f(அ) f(பி) f(அ◦பி) = f(அ) ◦ f(பி), அல்ஜீப்ரா ஹோமோமார்பிசம் என்று அழைக்கப்படுகிறது ( ஏ, +, ∙) இயற்கணிதத்தில் (ஆன்) Ā , , ◦).

வரையறை.ஹோமோமார்பிக் மேப்பிங் fஇயற்கணிதங்கள் ( ஏ, +, ∙) இயற்கணிதம் ( Ā , , ◦) மேப்பிங் என்றால் ஐசோமார்பிக் மேப்பிங் என்று அழைக்கப்படுகிறது fஅமைக்கிறது ஏஅன்று Ā ஊசி மூலம். இயற்கணிதத்தின் பார்வையில், ஐசோமார்பிக் இயற்கணிதங்கள் பிரித்தறிய முடியாதவை, அதாவது. அதே பண்புகள் உள்ளன.

வயலுக்கு மேலே ஆர்படிவத்தின் சமன்பாடு x 2 +1 = 0 தீர்வுகள் இல்லை. புலத்திற்கு ஐசோமார்ஃபிக் துணைப் புலத்தைக் கொண்ட ஒரு புலத்தை உருவாக்குவோம் ( ஆர்,+,∙), மற்றும் இதில் சமன்பாடு வடிவத்தில் உள்ளது x 2 +1 = 0 தீர்வு உள்ளது.

தொகுப்பில் C = ஆர்× ஆர் = {(அ, பி) | அ, பி ஆர்) கூட்டல் மற்றும் பெருக்கல் செயல்பாடுகளை பின்வருமாறு அறிமுகப்படுத்துகிறோம்: ( அ, பி) (c, ஈ) = (அ+ c, பி+ ஈ), (அ, பி) ◦ (c, ஈ) = (ஏசி-bd, விளம்பரம்+கி.மு) இயற்கணிதம் (C, ,◦) என்பது அடையாளத்துடன் கூடிய பரிமாற்ற வளையம் என்பதை நிரூபிப்பது கடினம் அல்ல. ஜோடி (0,0) என்பது வளையத்தின் பூஜ்யம், (1,0) என்பது வளையத்தின் அலகு. மோதிரம் என்பதைக் காட்டுவோம் ( உடன், ,◦) - புலம். விடு ( அ, பி) சி, ( அ, பி) ≠ (0,0) மற்றும் ( x,ஒய்) C என்பது ஒரு ஜோடி எண்கள் ( அ, பி)◦(x, ஒய்) = (1,0). (அ, பி)◦(x, ஒய்) = (1,0) (கோடாரி– மூலம், ஏய்+ bx) = (1,0)

(1)

இலிருந்து (1) =>
,
(அ, பி) -1 =
. எனவே (C, +, ∙) என்பது ஒரு புலம். தொகுப்பைக் கவனியுங்கள் ஆர் 0 = {(அ,0) | அ ஆர்) ஏனெனில் ( அ,0) (பி,0) = (அ- பி,0)ஆர் 0 , (அ,0)◦(பி,0) = (ab,0) ஆர் 0 ,
(அ,0) ≠ (0,0) (அ,0) -1 = (,0) ஆர் 0, பின்னர் இயற்கணிதம் ( ஆர் 0, ,◦) - புலம்.

மேப்பிங்கை உருவாக்குவோம் f: ஆர்
ஆர் 0 நிபந்தனையால் வரையறுக்கப்படுகிறது f(அ)=(அ,0) ஏனெனில் f - பைஜெக்டிவ் மேப்பிங் மற்றும் f(அ+ பி)= (அ+ பி,0) = =(அ,0)(பி,0) = f(அ)f(பி), f(அ∙பி) = (அ∙ பி,0) = (அ,0)◦(பி,0) =f(அ)◦f(பி), அது f- ஐசோமார்பிக் மேப்பிங். எனவே, ( ஆர் , +,∙)
(ஆர் 0, ,◦). (ஆர் 0, ,◦) - உண்மையான எண்களின் புலம்.

படிவத்தின் சமன்பாட்டைக் காட்டுவோம் எக்ஸ்புலத்தில் (C , , ◦) 2 +1 = 0 தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது. ( x,y) 2 + (1,0) = (0,0) (x 2 - ஒய் 2 +1, 2xy) = (0,0)

(2)

(0,1), (0, -1) - அமைப்புக்கான தீர்வுகள் (2).

கட்டமைக்கப்பட்ட புலம் (C , ,◦) கலப்பு எண்களின் புலம் என்றும், அதன் கூறுகள் கலப்பு எண்கள் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.

ஒரு கலப்பு எண்ணின் இயற்கணித வடிவம். இயற்கணித வடிவத்தில் சிக்கலான எண்களின் செயல்பாடுகள்.

(C, +, ∙) கலப்பு எண்களின் புலமாக இருக்கட்டும்,
சி,
=(அ, பி) ஏனெனில் ( ஆர் 0 ,+, ∙) (ஆர், +, ∙), பிறகு எந்த ஜோடியும் ( அ,0) உண்மையான எண்ணுடன் அடையாளம் காணப்படும் அ. மூலம் குறிப்போம் ί = (0,1). ஏனெனில் ί 2 = (0.1)∙(0.1) = (-1.0) = -1, பின்னர் ί கற்பனை அலகு என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு கலப்பு எண்ணை கற்பனை செய்வோம்
=(அ,பி) வடிவத்தில்: =( அ,பி)=(அ,0) +(பி,0) ◦(0,1)=அ+பி∙ί. வடிவத்தில் ஒரு கலப்பு எண்ணின் பிரதிநிதித்துவம், = ஏ + பிί எண்ணை எழுதும் இயற்கணித வடிவம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. அஒரு கலப்பு எண்ணின் உண்மையான பகுதி என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் இது Re ஆல் குறிக்கப்படுகிறது, பிஒரு கலப்பு எண்ணின் கற்பனை பகுதி மற்றும் Im ஆல் குறிக்கப்படுகிறது.

சிக்கலான எண்களைச் சேர்த்தல்:

α = a+bί, β = s+ஈί , α +β = (ஏ,பி) + (c, ஈ) = (அ+ c, பி+ ஈ) = அ+ c+ (பி+ ஈ)ί.

சிக்கலான எண்களைப் பெருக்குதல்:

α∙β = (அ, பி)(c, ஈ) = (அ∙ c– பி∙ ஈ, அ∙ ஈ+ பி∙ c) = அ∙ c - பி∙ ஈ + (அ∙ ஈ + பி∙ c)ί.

கலப்பு எண்களின் பெருக்கத்தைக் கண்டறிய a+bί மற்றும் s+ஈί , நீங்கள் பெருக்க வேண்டும் a+bίஅன்று s+ஈί பைனோமியால் ஒரு பினாமியாக, கொடுக்கப்பட்ட ί 2 = -1.

மூலம் வகுத்தல் β , β ≠ 0 என்பது ஒரு கலப்பு எண் γ அதாவது = γ∙ β .

= γ∙ β => γ = ∙ β -1. ஏனெனில்
, பின்னர் = ∙β -1 = =(அ, பி)∙
இவ்வாறு

பின்னத்தின் எண் மற்றும் வகுப்பினை வகுப்பின் கூட்டு எண்ணால் பெருக்கினால் இந்த சூத்திரத்தைப் பெறலாம், அதாவது. அன்று

உடன் -dί.

உதாரணம்.கலப்பு எண்களின் கூட்டுத்தொகை, தயாரிப்பு, பங்கு ஆகியவற்றைக் கண்டறியவும்

2+ 3ί , β = 3 - 4ί .

தீர்வு. + β =(2 + 3ί ) + (3 – 4ί ) =5– ί, ∙β = (2 + 3ί) (3– 4ί ) = 6 –8ί + 9ί – –12ί 2 = 18 + ί .

§6. வேர் பிரித்தெடுத்தல்nமுக்கோணவியல் வடிவத்தில் ஒரு கலப்பு எண்ணின் -வது சக்தி

ஒரு கலப்பு எண்ணின் முக்கோணவியல் வடிவம்.

ஒரு செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் ஒரு விமானத்தில், ஒரு சிக்கலான எண்

z = அ + bίநாங்கள் அதை ஒரு புள்ளியாகக் குறிப்பிடுவோம் ஏ(ஏ,பி) அல்லது ஆரம் திசையன்
.

ஒரு கலப்பு எண்ணைக் குறிப்பிடுவோம் z = 2 – 3ί .

வரையறை.எண்
கலப்பு எண்ணின் மாடுலஸ் எனப்படும் z = அ + bίமற்றும் | z |.

O அச்சின் நேர் திசைக்கு இடையே உருவான கோணம் எக்ஸ்மற்றும் ஒரு கலப்பு எண்ணைக் குறிக்கும் ஆரம் திசையன் z= அ+ bί, எண் வாதம் என்று அழைக்கப்படுகிறது zமற்றும் நியமிக்கப்பட்டுள்ளது Argz.

Argz 2π என்ற சொல் வரை வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது கே, .

சிக்கலான எண் வாதம் z, நிபந்தனை 0≤ திருப்தி< 2π , называется главным значением аргумента комплексного числа zமற்றும் நியமிக்கப்பட்டுள்ளது arg z.

இருந்து OAA 1 => அ=
cos ,பி= பாவம்
. சிக்கலான எண் பிரதிநிதித்துவம் z= அ+ bίவடிவத்தில் z= ஆர்(காஸ் + ί பாவம்) ஒரு எண்ணை எழுதும் முக்கோணவியல் வடிவம் என்று அழைக்கப்படுகிறது z (ஆர்=). ஒரு கலப்பு எண்ணை எழுத z = அ + bίமுக்கோணவியல் வடிவத்தில், நீங்கள் தெரிந்து கொள்ள வேண்டும் | z| மற்றும் Arg z, இது சூத்திரங்களில் இருந்து தீர்மானிக்கப்படுகிறது
, cos =
பாவம் =

விடுங்கள் z 1 = ஆர் 1 (காஸ் φ 1 + ί பாவம் φ 1), z 2 = ஆர் 2 (காஸ் φ 2 + ί பாவம் φ 2) பிறகு z 1∙ z 2 = =ஆர் 1∙ ஆர் 2 [(காஸ் φ 1 ∙காஸ் φ 2 - பாவம் φ 1∙பாவம் φ 2)+i]= ஆர் 1∙ ஆர் 2 [(காஸ் (φ 1+ φ 2) + iபாவம் ( φ 1+ φ 2)]. அது பின்வருமாறு | z 1 z 2 | = |z 1 | |z 2 |, Arg z 1 ∙z 2 = Arg z 1 + Arg z 2 .

Arg
Arg – ஆர்க் .

வேர் பிரித்தெடுத்தல்nமுக்கோணவியல் வடிவத்தில் ஒரு கலப்பு எண்ணின் -வது சக்தி.

விடுங்கள் zசி, nஎன். n - ஒரு கலப்பு எண்ணின் சக்தி z வேலை அழைக்கப்படுகிறது
அது நியமிக்கப்பட்டுள்ளது z n. விடுங்கள் மீ=- n. வரையறையின்படி நாங்கள் கருதுகிறோம்
z≠0, z 0 = 1, z மீ = . என்றால் z =ஆர்(காஸ் φ + ί பாவம் φ ), அது z n =

= ஆர் n(காஸ் nφ + ί பாவம் nφ) மணிக்கு ஆர் = 1 எங்களிடம் உள்ளது z n = cos nφ + ί பாவம் nφ - Moivre சூத்திரம். Moivre இன் சூத்திரம் உள்ளது
.

வேர் n zஅத்தகைய சிக்கலான எண் அழைக்கப்படுகிறது ω , என்ன ω n = z. அது நியாயமான கூற்று.

தேற்றம்.உள்ளது nமூலத்தின் வெவ்வேறு அர்த்தங்கள் nஒரு கலப்பு எண்ணின் -வது சக்தி z = ஆர்(காஸ் φ + ί பாவம் φ ) . அவை அனைத்தும் சூத்திரத்தில் இருந்து பெறப்படுகின்றன கே = 0, 1, … , n-1. இந்த சூத்திரத்தில்
- எண்கணித வேர்.

இதன் மூலம் குறிப்போம், ω 0 , ω 1 ,…, ω n-1 - ரூட் மதிப்புகள் nவது பட்டம் z, உடன் பெறப்படுகின்றன கே = 0, 1, ... , n-1. முதல் | ω 0 | = |ω 1 | = |ω 2 |= … =|ω n -1 |,

arg ω 0 = , ω 1 = arg ω 0 +
, … , arg ω n -1 = arg ω n - 2 + , பின்னர் சிக்கலான எண்கள் ω 0 , ω 1 ,…, ω nவிமானத்தில் -1 சமமான ஆரம் கொண்ட வட்டத்தின் புள்ளிகளால் குறிக்கப்படுகிறது
மற்றும் இந்த வட்டத்தை பிரிக்கவும் nசம பாகங்கள்.

சேர்த்தல் குறித்து;

ஒரு சின்னத்திற்கு பதிலாக $\backslash முறை$சின்னம் அடிக்கடி பயன்படுத்தப்படுகிறது $\backslash cdot$, அல்லது அதை முற்றிலும் தவிர்க்கவும்.

எளிமையான பண்புகள்

பின்வரும் பண்புகளை வளையக் கோட்பாடுகளிலிருந்து நேரடியாகப் பெறலாம்:

அடிப்படை கருத்துக்கள்

வளைய உறுப்புகளின் வகைகள்

வளையத்தில் பூஜ்ஜியமற்ற கூறுகள் இருக்கட்டும் (மோதிரம் அற்பமானது அல்ல). பிறகு புறப்பட்டார் பூஜ்ஜிய வகுத்தல்பூஜ்ஜியமற்ற உறுப்பு ஆகும் $அ$மோதிரங்கள் $ஆர்,$இதற்கு பூஜ்ஜியமற்ற உறுப்பு உள்ளது $பி$மோதிரங்கள் $ஆர்,$அத்தகைய $ab=0.$வலது பூஜ்ஜிய வகுப்பான் இதேபோல் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. பரிமாற்ற வளையங்களில் இந்த கருத்துக்கள் ஒத்துப்போகின்றன. எடுத்துக்காட்டு: இடைவெளியில் தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளின் வளையத்தைக் கவனியுங்கள் $(-1,\; 1).$போடுவோம் $f(x)=\backslash max(0,\; x),$ $g(x)=\backslash max(0,\; -x).$பிறகு $f\backslash ne0,\; g\backslash ne0,\; fg=0,$அதாவது $f,\; g$பூஜ்ஜிய வகுப்பிகள். இதோ நிபந்தனை $f\backslash ne0$என்று அர்த்தம் $f$பூஜ்ஜியம் அல்லாத செயல்பாடு, ஆனால் அதை அர்த்தப்படுத்துவதில்லை $f$எங்கும் பரவாயில்லை $0.$

என்றால் $அ$- ஒற்றுமையுடன் வளையத்தின் தன்னிச்சையான உறுப்பு $ஆர்,$பின்னர் இடது தலைகீழ் உறுப்பு $அ$அழைக்கப்பட்டது $a^(-1)\_(l)$அத்தகைய $a^(-1)\_(l)a=1.$வலது தலைகீழ் உறுப்பு இதேபோல் வரையறுக்கப்படுகிறது. உறுப்பு என்றால் $அ$இடது மற்றும் வலது தலைகீழ் இரண்டும் உள்ளன, பின்னர் பிந்தையது ஒத்துப்போகிறது, நாங்கள் அதைச் சொல்கிறோம் $அ$ஒரு தலைகீழ் உறுப்பு உள்ளது, இது தனிப்பட்ட முறையில் தீர்மானிக்கப்பட்டு குறிக்கப்படுகிறது $a^(-1).$தனிமமே தலைகீழான உறுப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

சப்ரிங்

துணைக்குழு $A\backslash \; துணைக்குழு\; ஆர்$அழைக்கப்பட்டது சப்ரிங் $ஆர்,$என்றால் $ஏ$வரையறுக்கப்பட்ட செயல்பாடுகளைப் பொறுத்தமட்டில் இது ஒரு வளையமாகும் $ஆர்.$அதே சமயம் அப்படியும் சொல்கிறார்கள் $ஆர்$- வளைய விரிவாக்கம் $ஏ.$வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், காலியாக இல்லாத துணைக்குழு $A\backslash \; துணைக்குழு\; ஆர்$ஒரு subring என்றால்

• $ஏ$வளையத்தின் ஒரு துணைக் குழுவாகும் $ஆர்,$அதாவது, எதற்கும் $x,\; y\; \backslash in\; A:\; x+y,\; -x\; \backslash in\; A,$
• $ஏ$பெருக்கத்தின் கீழ் மூடப்பட்டுள்ளது, அதாவது எதற்கும் $x,\; y\; \backslash in\; A:\; xy\; \backslash in\; A.$

ஒரு சப்ரிங் பரிமாற்றத்தின் சொத்தைப் பெறுகிறது.

காலியாக இல்லாத துணைக்குழு $ஐ$மோதிரங்கள் $ஆர்$அழைக்கப்பட்டது இடதுசாரி இலட்சியம், என்றால்:

• $ஐ$சேர்க்கையாக உள்ளது துணைக்குழுமோதிரங்கள், அதாவது, ஏதேனும் இரண்டு உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகை $ஐ$சொந்தமானது $நான்,$மேலும் $a\backslash in\; I\backslash Rightarrow\; -a\backslash in\; I.$

• மோதிரத்தின் தன்னிச்சையான உறுப்பு மூலம் இடது பெருக்கத்தின் கீழ் நான் மூடப்பட்டுள்ளது, அதாவது எதற்கும் $ஒரு\backslash \; நான்,$ $ஆர்\backslash இன்\; ஆர்$சரி $ra\backslash in\; ஐ.$

முதல் சொத்து, நான் தனக்குள்ளேயே பெருக்கலின் கீழ் மூடப்படுகிறேன், அதனால் நான் ஒரு துணையாக இருக்கிறேன் என்பதையும் குறிக்கிறது.

வலதுபுறத்தில் உள்ள வளையத்தின் ஒரு உறுப்பு மூலம் பெருக்கத்தின் கீழ் மூடப்பட்ட ஒரு வலது இலட்சியம் இதேபோல் வரையறுக்கப்படுகிறது.
இருபக்க இலட்சியம்(அல்லது வெறும் சிறந்த) மோதிரங்கள் $ஆர்$- இடது மற்றும் வலது இலட்சியமாக இருக்கும் காலியாக இல்லாத துணைக்குழு.

மேலும் சிறந்த மோதிரம் $ஆர்$சிலவற்றின் மையமாக வரையறுக்கலாம் ஓரினச்சேர்க்கை $f:\; R\; \backslash to\; R".$

என்றால் $x$- வளைய உறுப்பு $ஆர்,$பின்னர் படிவத்தின் கூறுகளின் தொகுப்பு $Rx$(முறையே, $xR$) இடது என்று அழைக்கப்படுகிறது (முறையே, வலது) முக்கிய இலட்சியம், உருவாக்கப்பட்டது $x$மோதிரம் என்றால் $ஆர்$பரிமாற்ற ரீதியாக, இந்த வரையறைகள் ஒன்றிணைந்து முக்கிய இலட்சியத்தை உருவாக்குகின்றன $x,$மூலம் குறிக்கப்படுகிறது $(x)$எடுத்துக்காட்டாக, அனைத்து இரட்டை எண்களின் தொகுப்பு முழு எண்களின் வளையத்தில் ஒரு இலட்சியத்தை உருவாக்குகிறது, இந்த இலட்சியம் உறுப்பு 2 மூலம் உருவாக்கப்படுகிறது. முழு எண்களின் வளையத்தில் உள்ள அனைத்து இலட்சியங்களும் முதன்மையானவை என்பதை நிரூபிக்க முடியும்.

முழு வளையத்துடன் ஒத்துப்போகாத ஒரு மோதிரத்தின் இலட்சியம் அழைக்கப்படுகிறது எளிய, என்றால் காரணி வளையம்இந்த இலட்சியத்தால் பூஜ்ஜிய வகுப்பிகள் இல்லை.
முழு மோதிரத்துடன் ஒத்துப்போகாத மற்றும் மோதிரத்திற்கு சமமாக இல்லாத எந்த பெரிய இலட்சியத்திலும் இல்லாத ஒரு மோதிரத்தின் இலட்சியம் அழைக்கப்படுகிறது அதிகபட்சம்.

ஹோமோமார்பிசம்

ரிங் ஹோமோமார்பிசம் (ரிங் ஹோமோமார்பிசம்)கூட்டல் மற்றும் பெருக்கல் செயல்பாடுகளை பாதுகாக்கும் ஒரு மேப்பிங் ஆகும். அதாவது, வளையத்திலிருந்து ஒரு ஹோமோமார்பிசம் $ஆர்$வளையத்தில் $எஸ்$- இது செயல்பாடு $f:\; R\backslash \; to\; S,$அத்தகைய

1. $f(a\; +\; b)\; =\; f(a)\; +\; f(b),$
2. $f(a\; \backslash cdot\; b)\; =\; f(a)\; \backslash cdot\; f(b),\; ~\backslash \; forall\; a,\; b\; \backslash in\; ~R.$

ஒற்றுமையுடன் கூடிய மோதிரங்களின் விஷயத்தில், சில நேரங்களில் நிபந்தனைகளும் தேவைப்படுகின்றன $f(1)\; =\; 1$ .

மோதிரங்களின் ஹோமோமார்பிசம் என்று அழைக்கப்படுகிறது ஐசோமார்பிசம், இருந்தால் மீண்டும்மோதிரங்களின் ஹோமோமார்பிசம். மோதிரங்களின் எந்த இருமுனை ஓரினச்சேர்க்கையும் ஒரு ஐசோமார்பிசம் ஆகும். ஆட்டோமார்பிசம்ஒரு வளையத்திலிருந்து தனக்குள்ளேயே ஒரு ஹோமோமார்பிசம் ஆகும், இது ஒரு ஐசோமார்பிஸம். எடுத்துக்காட்டு: ஒரு மோதிரத்தின் அடையாள மேப்பிங் ஒரு தன்னியக்கமாகும்.

என்றால் $f:R\backslash \; to\; S$- மோதிரங்களின் ஹோமோமார்பிசம், உறுப்புகளின் தொகுப்பு $ஆர்,$பூஜ்ஜியத்திற்குச் செல்வது அழைக்கப்படுகிறது முக்கிய $f$(குறிப்பிடப்படுகிறது $\backslash mathrm(ker)\; f$) எந்தவொரு ஹோமோமார்பிஸத்தின் கர்னல் இரண்டு பக்க இலட்சியமாகும். மறுபுறம், படம் $f$எப்போதும் ஒரு இலட்சியமாக இல்லை, ஆனால் ஒரு துணையாக இருக்கிறது $எஸ்$(குறிப்பிடப்படுகிறது $\backslash mathrm(im)f$).

காரணி வளையம்

இலட்சியத்தால் ஒரு பகுதி வளையத்தின் வரையறை வரையறைக்கு ஒத்ததாகும் காரணி குழுக்கள். இன்னும் துல்லியமாக, வளையத்தின் காரணி வளையம் $ஆர்$இரண்டு பக்க இலட்சியத்தின் படி $ஐ$- இது நிறைய செலவுகள்சேர்க்கை குழு $ஆர்$சேர்க்கை துணைக்குழு மூலம் $ஐ$பின்வரும் செயல்பாடுகளுடன்:

• $(a\; +\; I)\; +\; (b\; +\; I)\; =\; (a\; +\; b)\; +\; I,$
• $(a\; +\; I)(b\; +\; I)\; =\; (ab)\; +\; I.$

குழுக்களைப் போலவே, ஒரு நியமன ஹோமோமார்பிசம் உள்ளது $ப:\; R\backslash \; to\; R/I,$என வழங்கப்பட்டது $x\; \backslash mapsto\; x\; +\; I.$மையமானது இலட்சியமாகும் $ஐ.$

குழுக்களின் ஹோமோமார்பிசம் பற்றிய தேற்றத்தைப் போலவே, மோதிரங்களின் ஹோமோமார்பிஸத்திலும் ஒரு தேற்றம் உள்ளது: $f:\; R\backslash \; to\; R",$பிறகு $\backslash mathrm(Im)\; f$ஹோமோமார்பிஸம் கர்னலைப் பொறுத்தமட்டில் கோட்டன்ட் வளையத்திற்கு ஐசோமார்பிக் $\backslash mathrm(Im)\; f\; \backslash simeq\; A/\backslash mathrm(Ker)\; f.$

மோதிரங்களின் சில சிறப்பு வகுப்புகள்

எடுத்துக்காட்டுகள்

• $\backslash \{\; 0\backslash \}$ - அற்பமான மோதிரம், ஒரு பூஜ்ஜியத்தைக் கொண்டது. பூஜ்ஜியம் பெருக்கல் அலகாக இருக்கும் ஒரே வளையம் இதுதான். இந்த அற்பமான உதாரணத்தை கண்ணோட்டத்தில் ஒரு வளையமாக நினைப்பது பயனுள்ளது வகை கோட்பாடு, ஏனெனில் இந்த வழக்கில் வளையங்களின் வகைகளில் எழுகிறது முனையப் பொருள்.
• $\backslash mathbb(Z)$ - முழு எண்கள்(சாதாரண கூட்டல் மற்றும் பெருக்கத்துடன்). இது ஒரு மோதிரத்தின் மிக முக்கியமான எடுத்துக்காட்டு, ஏனெனில் எந்த மோதிரத்தையும் கருதலாம் இயற்கணிதம்முடிந்துவிட்டது $\backslash Z$. மேலும் இது ஆரம்ப பொருள்பிரிவில் மோதிரம்அலகு கொண்ட மோதிரங்கள்.
• $\backslash mathbb(Z)\_n$- மோதிரம் விலக்குகள்மாடுலோ இயற்கை எண் n. இவை எண் கோட்பாட்டிலிருந்து வளையங்களின் உன்னதமான எடுத்துக்காட்டுகள். எச்ச வளையம் என்பது n என்ற எண்ணில் இருந்தால் மட்டுமே புலமாகும் எளிய. தொடர்புடைய புலங்கள் கோட்பாட்டை உருவாக்குவதற்கான தொடக்க புள்ளியாகும் இறுதி புலங்கள். கட்டமைப்பைப் படிக்கும்போது எச்ச வளையங்களும் முக்கியம் வரையறுக்கப்பட்ட அபெலியன் குழுக்கள், அவை கட்டுவதற்கும் பயன்படுத்தப்படலாம் p-adic எண்கள்.
• $\backslash mathbb(Q)$- மோதிரம் பகுத்தறிவு எண்கள், இது ஒரு புலம். இது எளிமையான துறை பண்புகள் 0. எண் கோட்பாட்டில் இது முக்கிய ஆய்வுப் பொருள். பல்வேறு சமமற்ற விதிமுறைகளின்படி அதை நிரப்புவது புலங்களை வழங்குகிறது உண்மையான எண்கள் $\backslash R$மற்றும் p-adic எண்கள் $\backslash Q\_p,$ p என்பது ஒரு தன்னிச்சையான பகா எண்.
• தன்னிச்சையான பரிமாற்ற வளையத்திற்கு $ஆர்$கட்ட முடியும் பல்லுறுப்புக்கோவை வளையம் n மாறிகளிலிருந்து $ஆர்$முரண்பாடுகளுடன் $ஆர்.$குறிப்பாக, $R[x][y]=R.$முழு எண் குணகங்களைக் கொண்ட பல்லுறுப்புக்கோவை வளையம் ஒரு உலகளாவிய பல்லுறுப்புக்கோவை வளையமாகும், அதாவது அனைத்து பல்லுறுப்புக்கோவை வளையங்களும் இதன் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தப்படுகின்றன. டென்சர் தயாரிப்பு : $R\; =\; R\backslash otimes\backslash left\; (\backslash Z\backslash \; right).$
• ஒரு தொகுப்பின் துணைக்குழுக்களின் வளையம் $எக்ஸ்$ஒரு வளையமாகும், அதன் உறுப்புகள் துணைக்குழுக்களாக உள்ளன $எக்ஸ்$. ஒரு கூடுதல் செயல்பாடு உள்ளது சமச்சீர் வேறுபாடு, மற்றும் பெருக்கல் - தொகுப்புகளின் குறுக்குவெட்டு :

கட்டுமானங்கள்

நேரடி தயாரிப்பு

R மற்றும் S வளையங்களாக இருக்கட்டும். பிறகு வேலை $ஆர்\backslash \; டைம்ஸ்\; எஸ்$ஒரு இயற்கை வளைய அமைப்புடன் வழங்கப்படலாம். செயல்பாடுகள் பின்வருமாறு குறிப்பிடப்பட்டுள்ளன: எதற்கும் $r\_1,r\_2\backslash R\; இல்$, $S\_1,s\_2\backslash in\; S:$

• $(r\_1,s\_1)+(r\_2,s\_2)=(r\_1+r\_2,s\_1+s\_2),$
• $(r\_1,s\_1)\backslash cdot\; (r\_2,s\_2)=(r\_1r\_2,s\_1s\_2).$

வளையங்களின் தன்னிச்சையான குடும்பத்தின் தயாரிப்புக்கும் இதேபோன்ற கட்டுமானம் உள்ளது (கூட்டல் மற்றும் பெருக்கல் ஆகியவை கூறு வாரியாக குறிப்பிடப்படுகின்றன).

எண்டோமார்பிசம் வளையம்

A-ஐ விடுங்கள் அபிலியன் குழு(குழு செயல்பாடு பின்னர் கூட்டாக எழுதப்பட்டது). பிறகு பல ஹோமோமார்பிஸங்கள்இந்த குழு தனக்குள் (அதாவது எண்டோமார்பிஸங்கள்) எண்ட் (என்ட்) மூலம் குறிக்கப்படும் ஒரு வளையத்தை உருவாக்குகிறது ஏ) . இரண்டு ஹோமோமார்பிஸங்களின் கூட்டுத்தொகை கூறுகளாக தீர்மானிக்கப்படுகிறது: $(f+g)(x)=f(x)+g(x),$மற்றும் தயாரிப்பு ஹோமோமார்பிஸங்களின் கலவை போன்றது: $(fg)(x)=f(g(x)).$ A என்பது அபிலியன் அல்லாத குழுவாக இருந்தால் $f+g,$பொதுவாக, இது ஒன்றல்ல $g+f,$அதேசமயம் ஒரு வளையத்தில் சேர்ப்பது மாற்றாக இருக்க வேண்டும்.

பங்குகளின் புலம் மற்றும் பங்குகளின் வளையம்

R - ஆகட்டும் முழுமையான வளையம், பின்னர் பின்வரும் கட்டுமானமானது சிறியதைக் கட்டமைக்க அனுமதிக்கிறது களம்அதை கொண்டிருக்கும். தனியார் துறைமோதிரங்கள் R என்பது ஒரு தொகுப்பு சமத்துவ வகுப்புகள்முறையான பின்னங்கள் $p/q,\backslash ;\; p,q\backslash in\; ஆர்$பின்வரும் படி சமமான உறவு :

$(p\_1\; \backslash over\; q\_1)\backslash sim\; (p\_2\; \backslash over\; q\_2)$பின்னர் மற்றும் எப்போது மட்டுமே $(p\_1q\_2)=\; (p\_2q\_1),$

சாதாரண செயல்பாடுகளுடன்: $\backslash scriptstyle(a\; \backslash over\; b)+(c\; \backslash over\; d)=(ad+bc\; \backslash over\; bd),\backslash quad\; (a\; \backslash over\; b)\backslash cdot\; (c\; \backslash over\; d)=(ac\; \backslash over\; bd).$

கொடுக்கப்பட்ட உறவு உண்மையில் ஒரு சமமான உறவு என்பது முற்றிலும் தெளிவாக இல்லை: அதை நிரூபிக்க வளையத்தின் ஒருமைப்பாட்டைப் பயன்படுத்த வேண்டும். தன்னிச்சையான பரிமாற்ற வளையங்களுக்கு இந்த கட்டுமானத்தின் பொதுமைப்படுத்தல் உள்ளது. அதாவது, S என்பது பரிமாற்ற வளையமான R இல் உள்ள பெருக்கல் முறையில் மூடப்பட்ட அமைப்பாக இருக்கட்டும் (அதாவது, ஒன்றைக் கொண்ட துணைக்குழு மற்றும் பூஜ்ஜியம் இல்லை பிறகு தனிப்பட்ட மோதிரம் $எஸ்^(-1)ஆர்$முறையான பின்னங்களின் சமநிலை வகுப்புகளின் தொகுப்பாகும் $r/s,\backslash ;\; r\backslash in\; R,\; s\backslash in\; S$சமமான உறவின் மூலம்:

$(r\_1\; \backslash over\; s\_1)\backslash sim\; (r\_2\; \backslash over\; s\_2)$இருந்தால் மற்றும் இருந்தால் மட்டுமே $s"\backslash இல்\; எஸ்$, அது போன்ற $s"(r\_1s\_2-r\_2s\_1)=\; 0.$

இந்த வடிவமைப்பு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது வளையத்தின் உள்ளூர்மயமாக்கல்(உள்ளிருந்து இயற்கணித வடிவியல்உள்ளூர் பண்புகளை ஆராய இது உங்களை அனுமதிக்கிறது பன்முகத்தன்மைஒரு தனி புள்ளியில்). எடுத்துக்காட்டு: மோதிரம் தசமங்கள்பெருக்கல் முறையின்படி முழு எண்களின் வளையத்தின் உள்ளூர்மயமாக்கல் ஆகும் $S=\backslash (10^n|n\backslash geqslant\; 0\backslash ).$

இயற்கை மேப்பிங் உள்ளது $R\; \backslash to\; S^(-1)R,\; \backslash ,\; r\; \backslash mapstor\; /\; 1.$அவரது முக்கியபின்வரும் கூறுகளைக் கொண்டுள்ளது ஆர், எதற்காக உள்ளது கள் ∈ எஸ், அது போன்ற $ரூபாய்\; =\; 0.$குறிப்பாக, ஒரு ஒருங்கிணைந்த வளையத்திற்கு இந்த மேப்பிங் ஊசி மூலம்.

வகை விளக்கம்

மோதிரங்களின் ஹோமோமார்பிஸங்களுடன் மோதிரங்கள் உருவாகின்றன வகை, பொதுவாக குறிக்கப்படுகிறது மோதிரம்(சில நேரங்களில் இது ஒரு அலகு கொண்ட வளையங்களின் வகை குறிக்கப்படுகிறது, மேலும் சாதாரண வளையங்களின் வகை குறிக்கப்படுகிறது Rng) அடையாளத்துடன் கூடிய வளையங்களின் வகை பல பயனுள்ள பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது: குறிப்பாக, அது முழு மற்றும் முழு. இதன் பொருள் சிறியவை அனைத்தும் அதில் உள்ளன. வரம்புகள்மற்றும் கோலிமிட்கள் (உதாரணமாக, வேலை செய்கிறது , துணை தயாரிப்புகள் , கர்னல்கள்மற்றும் கோகர்னல்) அடையாளத்துடன் கூடிய வளையங்களின் வகை உள்ளது ஆரம்ப பொருள்(மோதிரம் $\backslash mathbb\; Z$) மற்றும் முனைய பொருள்(பூஜ்ஜிய வளையம்).

ஒரு வளையத்திற்கு பின்வரும் வகைப்படுத்தப்பட்ட வரையறையை நாம் கொடுக்கலாம்: அலகுடன் கூடிய துணை வளையம் மோனோயிட்வி அபெலியன் குழுக்களின் வகைகள்(அபெலியன் குழுக்கள் உருவாகின்றன மோனோய்டல் வகைசெயல்பாடு குறித்து டென்சர் தயாரிப்பு). செயல்மோதிரங்கள் ஆர்ஒரு அபெலியன் குழுவில் (ஒரு மோதிரம் கருதப்படுகிறது மோனோயிட்பெருக்கல் மூலம்) ஒரு அபெலியன் குழுவாக மாறும் ஆர்-தொகுதி. ஒரு தொகுதியின் கருத்து கருத்தை பொதுமைப்படுத்துகிறது திசையன் இடம்: தோராயமாகச் சொன்னால், ஒரு தொகுதி என்பது "வளையத்தின் மேல் திசையன் இடம்".

மோதிரங்களின் சிறப்பு வகுப்புகள்

வளையங்களுக்கு மேலே உள்ள கட்டமைப்புகள்

"ரிங் (கணிதம்)" கட்டுரையைப் பற்றி ஒரு மதிப்பாய்வை எழுதுங்கள்

குறிப்புகள்

1. , உடன். 17-19.
2. பெல்ஸ்கி ஏ., சடோவ்ஸ்கி எல். குவாண்டம் № 2, 1974.
3. எரிச் ரெக்// தத்துவத்தின் ஸ்டான்போர்ட் கலைக்களஞ்சியம் / எட்வர்ட் என். சல்டா. - 2012-01-01.
4. , உடன். 9.
5. , உடன். 18-19.
6. , உடன். 273-275.
7. , உடன். 51-53.
8. , உடன். 11.
9. , உடன். 359.
10. , உடன். 407.
11. , உடன். 110-111.
12. , உடன். 21.
13. , உடன். 437.
14. , உடன். 64.
15. , உடன். 153.
16. , உடன். 430-431.
17. , உடன். 406.
18. , உடன். 10.
19. , உடன். 388.
20. , உடன். 107-108.
21. , உடன். 432.
22. , உடன். 387-390.
23. , உடன். 523.
24. , உடன். 152.
25. , உடன். 430.
26. , உடன். 118.
27. .
28. , உடன். 266.
29. , உடன். 28-34.
30. , உடன். 509-512.
31. , உடன். 33.
32. , உடன். 173.
33. , உடன். 450-452.
34. , உடன். 305-311.

இலக்கியம்

• எம்.அத்தியா, I. மெக்டொனால்ட்.பரிமாற்ற அல்ஜீப்ரா அறிமுகம். - எம்.: மிர், 1972. - 160 பக்.
• பெல்ஸ்கி ஏ., சடோவ்ஸ்கி எல். குவாண்டம் № 2, 1974.
• வான் டெர் வேர்டன் பி.எல். இயற்கணிதம். - எம்.: மிர், 1975. - 623 பக்.
• வின்பெர்க் ஈ. பி. அல்ஜீப்ரா பாடநெறி. - புதிய பதிப்பு, திருத்தப்பட்டது. மற்றும் கூடுதல்.. - எம்.: MTsNMO, 2011. - 592 ப.
• கிளேசர் ஜி.ஐ. பள்ளியில் கணிதத்தின் வரலாறு: தரங்கள் IX-X. ஆசிரியர்களுக்கான கையேடு - புதிய பதிப்பு, திருத்தப்பட்டது. மற்றும் கூடுதல்.. - எம்.: கல்வி, 1983. - 351 பக்.
• கோல்மோகோரோவ் ஏ.என். ,யுஷ்கேவிச் ஏ.பி.(பதிப்பு.). 19 ஆம் நூற்றாண்டின் கணிதம். கணித தர்க்கம். இயற்கணிதம். எண் கோட்பாடு. நிகழ்தகவு கோட்பாடு. - எம்.: நௌகா, 1978. - 255 பக்.
• குலிகோவ் எல் யா.இயற்கணிதம் மற்றும் எண் கோட்பாடு: பாடநூல். கல்வி நிறுவனங்களுக்கான கையேடு. - எம்.: உயர். பள்ளி, 1979. - 559 பக்.
• குரோஷ் ஏ. ஜி. உயர் இயற்கணிதம்.. - எம்.: நௌகா, 1968. - 431 பக்.
• முகம் கே.இயற்கணிதம். மோதிரங்கள், தொகுதிகள், பிரிவுகள்.. - எம்.: மிர், 1977. - டி. 1. - 688 பக்.
• முகம் கே.இயற்கணிதம். மோதிரங்கள், தொகுதிகள், பிரிவுகள்.. - எம்.: மிர், 1979. - டி. 2. - 464 பக்.
• ஹெர்ஸ்டீன் ஐ.பரிமாற்றம் செய்யாத வளையங்கள். - எம்.: மிர், 1972. - 190 பக்.

மோதிரத்தை வகைப்படுத்தும் பகுதி (கணிதம்)

இதற்கு ஒரு மணி நேரத்திற்குப் பிறகு, துன்யாஷா துரோன் வந்துவிட்டார் என்ற செய்தியுடன் இளவரசியிடம் வந்தார், இளவரசியின் உத்தரவின் பேரில் அனைத்து ஆண்களும் எஜமானியுடன் பேச விரும்பி களஞ்சியத்தில் கூடினர்.
"ஆம், நான் அவர்களை ஒருபோதும் அழைக்கவில்லை," என்று இளவரசி மரியா கூறினார், "நான் துரோனுஷ்காவிடம் அவர்களுக்கு ரொட்டி கொடுக்க மட்டுமே சொன்னேன்."
"கடவுளின் பொருட்டு மட்டுமே, இளவரசி அம்மா, அவர்களை வெளியேற்ற உத்தரவிடுங்கள், அவர்களிடம் செல்ல வேண்டாம்." இது எல்லாம் வெறும் பொய்," துன்யாஷா கூறினார், "யாகோவ் அல்பாடிச் வருவார், நாங்கள் செல்வோம் ... நீங்கள் விரும்பினால் ...
- என்ன வகையான ஏமாற்றம்? - இளவரசி ஆச்சரியத்துடன் கேட்டாள்
- ஆம், எனக்குத் தெரியும், கடவுளின் பொருட்டு நான் சொல்வதைக் கேளுங்கள். ஆயாவிடம் கேளுங்கள். உங்கள் உத்தரவின் பேரில் வெளியேற சம்மதிக்கவில்லை என்கிறார்கள்.
- நீங்கள் ஏதோ தவறாக சொல்கிறீர்கள். ஆம், நான் ஒருபோதும் வெளியேற உத்தரவிடவில்லை ... - இளவரசி மரியா கூறினார். - த்ரோனுஷ்காவை அழைக்கவும்.
வந்த ட்ரோன் துன்யாஷாவின் வார்த்தைகளை உறுதிப்படுத்தினார்: இளவரசியின் உத்தரவின் பேரில் ஆண்கள் வந்தனர்.
"ஆம், நான் அவர்களை அழைக்கவில்லை," என்றாள் இளவரசி. "நீங்கள் அதை அவர்களுக்கு சரியாக தெரிவிக்கவில்லை." ரொட்டியைக் கொடுக்கச் சொன்னேன்.
துரோணர் பதில் சொல்லாமல் பெருமூச்சு விட்டார்.
"நீங்கள் ஆர்டர் செய்தால், அவர்கள் வெளியேறுவார்கள்," என்று அவர் கூறினார்.
"இல்லை, இல்லை, நான் அவர்களிடம் செல்வேன்" என்று இளவரசி மரியா கூறினார்
துன்யாஷா மற்றும் ஆயாவின் மறுப்பு இருந்தபோதிலும், இளவரசி மரியா தாழ்வாரத்திற்கு வெளியே சென்றார். ட்ரோன், துன்யாஷா, ஆயா மற்றும் மைக்கேல் இவனோவிச் அவளைப் பின்தொடர்ந்தனர். "நான் அவர்களுக்கு ரொட்டியை வழங்குகிறேன் என்று அவர்கள் நினைக்கலாம், அதனால் அவர்கள் தங்கள் இடங்களில் இருப்பார்கள், நானே வெளியேறுவேன், பிரெஞ்சுக்காரர்களின் கருணைக்கு அவர்களைக் கைவிட்டுவிடுவேன்" என்று இளவரசி மரியா நினைத்தாள். - மாஸ்கோவிற்கு அருகிலுள்ள ஒரு குடியிருப்பில் நான் அவர்களுக்கு ஒரு மாதம் உறுதியளிக்கிறேன்; என் இடத்தில் ஆண்ட்ரே இன்னும் அதிகமாகச் செய்திருப்பார் என்று நான் நம்புகிறேன், ”என்று அவள் நினைத்தாள், அந்தி நேரத்தில் கொட்டகைக்கு அருகிலுள்ள மேய்ச்சலில் நின்று கொண்டிருந்த கூட்டத்தை நெருங்கினாள்.
கூட்டம், கூட்டமாக, அசையத் தொடங்கியது, அவர்களின் தொப்பிகள் விரைவாக வெளியேறின. இளவரசி மரியா, கண்கள் குனிந்து, ஆடையில் கால்கள் நெளிந்து, அவர்களுக்கு அருகில் வந்தாள். பலவிதமான வயதான மற்றும் இளம் கண்கள் அவள் மீது பதிந்திருந்தன, மேலும் பலவிதமான முகங்கள் இருந்தன, இளவரசி மரியா ஒரு முகத்தைக் கூட பார்க்கவில்லை, திடீரென்று எல்லோரிடமும் பேச வேண்டிய அவசியத்தை உணர்ந்ததால், என்ன செய்வது என்று தெரியவில்லை. ஆனால் மீண்டும் அவள் தன் தந்தை மற்றும் சகோதரனின் பிரதிநிதி என்ற உணர்வு அவளுக்கு வலிமையைக் கொடுத்தது, அவள் தைரியமாக பேச்சைத் தொடங்கினாள்.
"நீங்கள் வந்ததில் நான் மிகவும் மகிழ்ச்சியடைகிறேன்," இளவரசி மரியா கண்களை உயர்த்தாமல், அவளுடைய இதயம் எவ்வளவு விரைவாகவும் வலுவாகவும் துடிக்கிறது என்பதை உணராமல் தொடங்கினாள். "நீங்கள் போரால் அழிந்துவிட்டீர்கள் என்று துரோனுஷ்கா என்னிடம் கூறினார்." இது எங்கள் பொதுவான வருத்தம், உங்களுக்கு உதவ நான் எதையும் விடமாட்டேன். நானே செல்கிறேன், ஏனென்றால் இது ஏற்கனவே ஆபத்தானது மற்றும் எதிரி நெருங்கிவிட்டான் ... ஏனென்றால் ... நான் உங்களுக்கு எல்லாவற்றையும் தருகிறேன், என் நண்பர்களே, எல்லாவற்றையும் எடுத்துக் கொள்ளும்படி கேட்டுக்கொள்கிறேன், எங்கள் ரொட்டி, உங்களிடம் இல்லை. எந்த தேவையும். நீங்கள் இங்கே தங்குவதற்கு நான் உங்களுக்கு ரொட்டி தருகிறேன் என்று அவர்கள் உங்களிடம் சொன்னால், இது உண்மையல்ல. மாறாக, உங்கள் எல்லா சொத்துக்களையும் எங்கள் மாஸ்கோ பிராந்தியத்திற்கு விட்டுச் செல்லும்படி நான் உங்களிடம் கேட்டுக்கொள்கிறேன், அங்கு நான் அதை நானே எடுத்துக்கொண்டு உங்களுக்குத் தேவைப்பட மாட்டீர்கள் என்று உறுதியளிக்கிறேன். அவர்கள் உங்களுக்கு வீடுகளையும் ரொட்டிகளையும் கொடுப்பார்கள். - இளவரசி நிறுத்தினாள். கூட்டத்தில் பெருமூச்சு மட்டுமே கேட்டது.
“இதை நான் சொந்தமாகச் செய்யவில்லை,” இளவரசி தொடர்ந்தாள், “உனக்கு நல்ல குருவாக இருந்த என் மறைந்த தந்தையின் பெயராலும், என் சகோதரன் மற்றும் அவன் மகனுக்காகவும் இதைச் செய்கிறேன்.”
மீண்டும் நிறுத்தினாள். அவள் மௌனத்தை யாரும் குறுக்கிடவில்லை.
- எங்கள் வருத்தம் பொதுவானது, எல்லாவற்றையும் பாதியாகப் பிரிப்போம். "என்னுடையது எல்லாம் உன்னுடையது" என்று அவள் முன்னால் நின்ற முகங்களைச் சுற்றிப் பார்த்தாள்.
எல்லா கண்களும் அவளை ஒரே முகபாவத்துடன் பார்த்தன, அதன் அர்த்தம் அவளால் புரிந்து கொள்ள முடியவில்லை. ஆர்வமோ, பக்தியோ, நன்றியோ, பயமோ, அவநம்பிக்கையோ எல்லா முகங்களிலும் ஒரே மாதிரியாகத்தான் இருந்தது.
"உங்கள் கருணையால் பலர் மகிழ்ச்சியடைகிறார்கள், ஆனால் நாங்கள் எஜமானரின் ரொட்டியை எடுக்க வேண்டியதில்லை" என்று பின்னால் இருந்து ஒரு குரல் கேட்டது.
- ஏன் இல்லை? - இளவரசி கூறினார்.
யாரும் பதிலளிக்கவில்லை, இளவரசி மரியா, கூட்டத்தைச் சுற்றிப் பார்த்து, இப்போது அவள் சந்தித்த அனைத்து கண்களும் உடனடியாக கைவிடப்பட்டதைக் கவனித்தாள்.
- நீங்கள் ஏன் விரும்பவில்லை? - அவள் மீண்டும் கேட்டாள்.
யாரும் பதில் சொல்லவில்லை.
இளவரசி மரியா இந்த அமைதியிலிருந்து பாரமாக உணர்ந்தாள்; அவள் ஒருவரின் பார்வையைப் பிடிக்க முயன்றாள்.
- நீங்கள் ஏன் பேசவில்லை? - இளவரசி முதியவர் பக்கம் திரும்பினார், அவர் ஒரு குச்சியில் சாய்ந்து, அவளுக்கு முன்னால் நின்றார். - வேறு ஏதாவது தேவை என்று நீங்கள் நினைத்தால் சொல்லுங்கள். "நான் எல்லாவற்றையும் செய்வேன்," அவள் அவனுடைய பார்வையைப் பிடித்தாள். ஆனால் அவர், இதைப் பற்றி கோபமாக, தலையை முழுவதுமாகத் தாழ்த்திக் கூறினார்:
- ஏன் ஒப்புக்கொள்கிறீர்கள், எங்களுக்கு ரொட்டி தேவையில்லை.
- சரி, நாம் அனைத்தையும் விட்டுவிட வேண்டுமா? நாங்கள் ஒப்புக்கொள்ளவில்லை. நாங்கள் ஒப்புக்கொள்ளவில்லை... நாங்கள் ஒப்புக்கொள்ளவில்லை. நாங்கள் உங்களுக்காக வருந்துகிறோம், ஆனால் நாங்கள் ஒப்புக்கொள்ளவில்லை. தனியே செல், தனியே...” என்ற சத்தம் வெவ்வேறு திசைகளிலிருந்து கூட்டத்தில் கேட்டது. இந்த கூட்டத்தின் அனைத்து முகங்களிலும் மீண்டும் அதே வெளிப்பாடு தோன்றியது, இப்போது அது ஆர்வத்தையும் நன்றியையும் வெளிப்படுத்தவில்லை, ஆனால் மன உறுதியின் வெளிப்பாடாக இருக்கலாம்.
"உங்களுக்கு புரியவில்லை, சரி," இளவரசி மரியா சோகமான புன்னகையுடன் கூறினார். - நீங்கள் ஏன் செல்ல விரும்பவில்லை? நான் உங்களுக்கு வீடு மற்றும் உணவளிப்பதாக உறுதியளிக்கிறேன். இங்கே எதிரி உன்னை அழித்து விடுவான்...
ஆனால் அவளது குரல் கூட்டத்தின் குரலில் மூழ்கியது.
"எங்கள் சம்மதம் இல்லை, அவர் அதை அழிக்கட்டும்!" நாங்கள் உங்கள் ரொட்டியை எடுக்கவில்லை, எங்களுக்கு ஒப்புதல் இல்லை!
இளவரசி மரியா மீண்டும் கூட்டத்திலிருந்து ஒருவரின் பார்வையைப் பிடிக்க முயன்றார், ஆனால் ஒரு பார்வை கூட அவளை நோக்கி செலுத்தப்படவில்லை; கண்கள் அவளைத் தவிர்த்தன. அவள் விசித்திரமாகவும் சங்கடமாகவும் உணர்ந்தாள்.
- பார், அவள் எனக்கு புத்திசாலித்தனமாக கற்றுக் கொடுத்தாள், கோட்டைக்கு அவளைப் பின்தொடர! உங்கள் வீட்டை அழித்து கொத்தடிமைகளாக சென்று விடுங்கள். ஏன்! நான் உங்களுக்கு ரொட்டி தருகிறேன், அவர்கள் சொல்கிறார்கள்! - என்ற குரல்கள் கூட்டத்தில் கேட்டன.
இளவரசி மரியா, தலையைத் தாழ்த்தி, வட்டத்தை விட்டு வெளியேறி வீட்டிற்குள் சென்றார். நாளை புறப்படுவதற்கு குதிரைகள் இருக்க வேண்டும் என்று துரோணரிடம் திரும்பத் திரும்பக் கட்டளையிட்டவள், தன் அறைக்குச் சென்று தன் எண்ணங்களோடு தனியாக இருந்தாள்.

அன்றிரவு நீண்ட நேரம், இளவரசி மரியா தனது அறையில் திறந்த ஜன்னலில் அமர்ந்து, கிராமத்திலிருந்து வரும் ஆண்கள் பேசும் சத்தங்களைக் கேட்டுக் கொண்டிருந்தார், ஆனால் அவர் அவர்களைப் பற்றி சிந்திக்கவில்லை. அவர்களைப் பற்றி எவ்வளவு யோசித்தாலும் தன்னால் அவர்களைப் புரிந்து கொள்ள முடியவில்லை என்று உணர்ந்தாள். அவள் ஒரு விஷயத்தைப் பற்றி யோசித்துக்கொண்டே இருந்தாள் - அவளுடைய வருத்தத்தைப் பற்றி, இப்போது, ​​நிகழ்காலத்தைப் பற்றிய கவலைகளால் ஏற்பட்ட இடைவெளிக்குப் பிறகு, அவளுக்கு ஏற்கனவே கடந்த காலமாகிவிட்டது. அவளால் இப்போது நினைவுகூர முடிந்தது, அவளால் அழ முடியும், அவளால் பிரார்த்தனை செய்ய முடியும். சூரியன் மறைந்ததும் காற்று அடித்தது. இரவு அமைதியாகவும் புதியதாகவும் இருந்தது. பன்னிரெண்டு மணியளவில் குரல்கள் மங்கத் தொடங்கின, சேவல் கூவியது, முழு நிலவு லிண்டன் மரங்களுக்குப் பின்னால் இருந்து வெளிவரத் தொடங்கியது, ஒரு புதிய, வெள்ளை பனிக்கட்டி உயர்ந்தது, கிராமம் மற்றும் வீடு முழுவதும் அமைதி ஆட்சி செய்தது.
ஒன்றன்பின் ஒன்றாக, நெருங்கிய கடந்த காலத்தின் படங்கள் அவளுக்குத் தோன்றின - நோய் மற்றும் அவளுடைய தந்தையின் கடைசி நிமிடங்கள். சோகமான மகிழ்ச்சியுடன் அவள் இப்போது இந்த உருவங்களில் தங்கியிருந்தாள், அவனுடைய மரணத்தின் ஒரே ஒரு கடைசி படத்தை மட்டுமே திகிலுடன் தன்னை விட்டு ஓட்டினாள் - அவள் உணர்ந்தாள் - இரவின் இந்த அமைதியான மற்றும் மர்மமான நேரத்தில் அவளது கற்பனையில் கூட சிந்திக்க முடியவில்லை. இந்த படங்கள் அவளுக்கு மிகவும் தெளிவுடனும் விவரங்களுடனும் தோன்றின, அவை இப்போது யதார்த்தம், இப்போது கடந்த காலம், இப்போது எதிர்காலம் என்று அவளுக்குத் தோன்றியது.
பின்னர், பக்கவாதம் வந்து, வழுக்கை மலையில் உள்ள தோட்டத்திலிருந்து கைகளால் இழுத்துச் செல்லப்பட்ட தருணத்தை அவள் தெளிவாகக் கற்பனை செய்தாள், அவன் வலிமையற்ற நாக்கால் ஏதோ முணுமுணுத்து, நரைத்த புருவங்களை இழுத்து, அமைதியின்றி, பயத்துடன் அவளைப் பார்த்தான்.
"அப்போது கூட அவர் இறந்த நாளில் என்னிடம் சொன்னதை என்னிடம் சொல்ல விரும்பினார்" என்று அவள் நினைத்தாள். "அவர் எப்பொழுதும் அவர் என்னிடம் சொன்னதையே குறிக்கிறார்." அதனால், இளவரசி மரியா, சிக்கலை உணர்ந்து, அவனது விருப்பத்திற்கு மாறாக அவனுடன் இருந்தபோது, ​​அவனுக்கு ஏற்பட்ட அடிக்கு முன்னதாக, பால்ட் மலைகளில் அன்றிரவு அவள் அதன் அனைத்து விவரங்களையும் நினைவு கூர்ந்தாள். அவள் தூங்கவில்லை, இரவில் அவள் கீழே சாய்ந்தாள், அன்று இரவை அவளது தந்தை கழித்த பூக்கடையின் வாசலுக்குச் சென்று, அவன் குரலைக் கேட்டாள். சோர்வுற்ற குரலில் டிகோனிடம் ஏதோ சொன்னார். அவர் வெளிப்படையாக பேச விரும்பினார். "அவர் ஏன் என்னை அழைக்கவில்லை? டிகோனின் இடத்தில் என்னை ஏன் அவர் அனுமதிக்கவில்லை? - இளவரசி மரியா அன்றும் இன்றும் நினைத்தாள். "அவர் தனது ஆத்மாவில் இருந்த அனைத்தையும் இப்போது யாரிடமும் சொல்லமாட்டார்." இந்த தருணம் அவருக்கும் எனக்கும் ஒருபோதும் திரும்பாது, அவர் சொல்ல விரும்பிய அனைத்தையும் அவர் சொல்வார், நான், டிகோன் அல்ல, அவரைக் கேட்டு புரிந்துகொள்வேன். நான் ஏன் அறைக்குள் நுழையவில்லை? - அவள் நினைத்தாள். "ஒருவேளை அவர் இறந்த நாளில் அவர் சொன்னதை என்னிடம் சொல்லியிருக்கலாம்." அப்போதும், டிகோனுடனான உரையாடலில், அவர் என்னைப் பற்றி இரண்டு முறை கேட்டார். அவர் என்னைப் பார்க்க விரும்பினார், ஆனால் நான் இங்கே, கதவுக்கு வெளியே நின்றேன். அவர் சோகமாக இருந்தார், அவரைப் புரிந்து கொள்ளாத டிகோனுடன் பேசுவது கடினமாக இருந்தது. லிசாவைப் பற்றி அவர் எப்படிப் பேசினார் என்பது எனக்கு நினைவிருக்கிறது, அவள் உயிருடன் இருப்பது போல் - அவள் இறந்துவிட்டதை அவன் மறந்துவிட்டான், அவள் இப்போது இல்லை என்பதை டிகான் அவனுக்கு நினைவூட்டி, “முட்டாள்” என்று கத்தினான். அது அவருக்கு கடினமாக இருந்தது. அவர் எப்படி படுக்கையில் படுத்துக் கொண்டார் என்று நான் கேட்டேன், மேலும் சத்தமாக கத்தினார்: "என் கடவுளே! அவர் என்னை என்ன செய்வார்? நான் எதை இழக்க வேண்டும்? ஒருவேளை அப்போது அவர் ஆறுதல் அடைந்திருப்பார், அவர் இந்த வார்த்தையை என்னிடம் கூறியிருப்பார். இளவரசி மரியா அவர் இறந்த நாளில் அவளிடம் சொன்ன அன்பான வார்த்தையை உரக்கச் சொன்னார். “கண்ணா! - இளவரசி மரியா இந்த வார்த்தையைத் திரும்பத் திரும்பச் சொல்லி, ஆன்மாவைத் தணிக்கும் கண்ணீருடன் அழத் தொடங்கினார். அவள் இப்போது அவன் முகத்தை தன் முன்னே பார்த்தாள். அவள் நினைவில் இருந்ததிலிருந்து அவள் அறிந்த, அவள் எப்போதும் தூரத்திலிருந்து பார்த்த முகம் அல்ல; மற்றும் அந்த முகம் - பயமாகவும் பலவீனமாகவும் இருந்தது, கடைசி நாளில், அவன் சொன்னதைக் கேட்க அவன் வாய்க்கு கீழே குனிந்து, அவள் அதன் சுருக்கங்கள் மற்றும் விவரங்கள் அனைத்தையும் முதல் முறையாக நெருக்கமாக ஆராய்ந்தாள்.
"அன்பே," அவள் மீண்டும் சொன்னாள்.
"அவர் அந்த வார்த்தையைச் சொன்னபோது என்ன நினைத்துக் கொண்டிருந்தார்? அவர் இப்போது என்ன நினைக்கிறார்? - திடீரென்று அவளிடம் ஒரு கேள்வி வந்தது, அதற்குப் பதில் அவள் முகத்தில் வெள்ளைத் தாவணியால் கட்டப்பட்டிருந்த சவப்பெட்டியில் இருந்த அதே முகபாவத்துடன் அவனை அவள் எதிரே பார்த்தாள். அவள் அவனைத் தொட்டபோது அவளைப் பற்றிக் கொண்ட திகில், அது அவன் மட்டுமல்ல, ஏதோ மர்மமான மற்றும் வெறுப்பூட்டும் ஒன்று என்று உறுதியாகிவிட்டது, இப்போது அவளைப் பற்றிக் கொண்டது. அவள் மற்ற விஷயங்களைப் பற்றி சிந்திக்க விரும்பினாள், பிரார்த்தனை செய்ய விரும்பினாள், ஆனால் எதுவும் செய்ய முடியவில்லை. அவள் பெரிய திறந்த கண்களால் நிலவொளியையும் நிழல்களையும் பார்த்தாள், ஒவ்வொரு நொடியும் அவனது இறந்த முகத்தைப் பார்க்க வேண்டும் என்று அவள் எதிர்பார்த்தாள், வீட்டையும் வீட்டிலும் இருந்த அமைதி அவளைக் கட்டியெழுப்புவதாக உணர்ந்தாள்.
- துன்யாஷா! - அவள் கிசுகிசுத்தாள். - துன்யாஷா! - அவள் காட்டுக் குரலில் கத்தினாள், அமைதியை உடைத்து, பெண்கள் அறைக்கு ஓடினாள், ஆயா மற்றும் பெண்கள் அவளை நோக்கி ஓடினார்கள்.

ஆகஸ்ட் 17 அன்று, சிறையிலிருந்து திரும்பிய லாவ்ருஷ்காவுடன் ரோஸ்டோவ் மற்றும் இலின், போகுசரோவோவிலிருந்து பதினைந்து மைல் தொலைவில் உள்ள யான்கோவோ முகாமில் இருந்து தூதர் ஹுஸார் குதிரை சவாரிக்குச் சென்றனர் - இலின் வாங்கிய புதிய குதிரையை முயற்சிக்க, மேலும் கிராமங்களில் வைக்கோல் இருந்ததா என்பதை கண்டறிய வேண்டும்.
போகுசரோவோ கடந்த மூன்று நாட்களாக இரண்டு எதிரிப் படைகளுக்கு இடையே அமைந்திருந்தது, இதனால் ரஷ்யப் பின்பக்கப் படையும் பிரெஞ்சுப் படையைப் போலவே எளிதாக அங்கு நுழைந்திருக்க முடியும், எனவே ரோஸ்டோவ், ஒரு அக்கறையுள்ள படைப்பிரிவின் தளபதியாக, எஞ்சியிருந்த விதிகளைப் பயன்படுத்திக் கொள்ள விரும்பினார். போகுசரோவோவில் பிரெஞ்சுக்காரர்களுக்கு முன்.
ரோஸ்டோவ் மற்றும் இலின் மிகவும் மகிழ்ச்சியான மனநிலையில் இருந்தனர். போகுசரோவோவுக்குச் செல்லும் வழியில், ஒரு தோட்டத்துடன் கூடிய சுதேச தோட்டத்திற்கு, அவர்கள் பெரிய வேலையாட்களையும் அழகான பெண்களையும் கண்டுபிடிப்பார்கள் என்று நம்பினர், அவர்கள் லாவ்ருஷ்காவிடம் நெப்போலியனைப் பற்றி கேட்டு சிரித்தனர், அல்லது இலினின் குதிரையை முயற்சித்து ஓட்டிச் சென்றனர்.
அவர் பயணித்த இந்த கிராமம் தனது சகோதரியின் வருங்கால மனைவியான அதே போல்கோன்ஸ்கியின் தோட்டம் என்று ரோஸ்டோவ் அறிந்திருக்கவில்லை அல்லது நினைக்கவில்லை.
ரோஸ்டோவ் மற்றும் இலின் கடைசியாக குதிரைகளை போகுசரோவுக்கு முன்னால் இழுத்துச் செல்ல குதிரைகளை விடுவித்தனர், மேலும் ரோஸ்டோவ், இலினை முந்திக்கொண்டு, போகுசரோவ் கிராமத்தின் தெருவில் முதலில் ஓடினார்.
"நீங்கள் முன்னிலை வகித்தீர்கள்," என்று சிவந்த இலின் கூறினார்.
"ஆமாம், எல்லாம் முன்னோக்கி, புல்வெளியில் முன்னோக்கி, இங்கே," என்று ரோஸ்டோவ் பதிலளித்தார், தனது கையால் உயரும் அடிப்பகுதியைத் தட்டினார்.
"மேலும் பிரஞ்சு மொழியில், உன்னதமானவர்," லாவ்ருஷ்கா பின்னால் இருந்து தனது ஸ்லெட் நாக்கை பிரஞ்சு என்று அழைத்தார், "நான் முந்தியிருப்பேன், ஆனால் நான் அவரை சங்கடப்படுத்த விரும்பவில்லை."
அவர்கள் கொட்டகையை நோக்கி நடந்தார்கள், அதன் அருகே ஒரு பெரிய கூட்டம் நின்றது.