Razširitev kosinusa v Laurentov niz. Laurentove serije izolirane singularne točke in njihova klasifikacija

Taylor uvršča servis učinkovita sredstva za preučevanje funkcij, analitičnih v krogu zol Za preučevanje funkcij, analitičnih v domeni obroča, se izkaže, da je mogoče konstruirati razširitve v pozitivnih in negativnih potencah (z - zq) v obliki, ki posplošuje Taylorjeve razširitve. Niz (1), razumljen kot vsota dveh nizov, se imenuje Laurentov niz. Jasno je, da je konvergenčno območje niza (1) skupni del konvergenčnih območij vsakega od nizov (2). Poiščimo jo. Območje konvergence prve serije je krog, katerega polmer je določen s formulo Cauchy-Hadamard. Znotraj kroga konvergence serija (3) konvergira k analitični funkciji, v katerem koli krogu manjšega polmera pa konvergira. absolutno in enakomerno. Druga vrsta je potenčna vrsta glede na spremenljivko. Serija (5) konvergira v svojem konvergenčnem krogu k analitični funkciji kompleksne spremenljivke m-*oo in v katerem koli krogu manjšega polmera konvergira absolutno in enakomerno. pomeni, da je območje konvergence niza (4) zunanjost kroga - Če potem obstaja skupno območje konvergence niza (3) in (4) - krožni obroč, v katerem niz (1) konvergira k analitični funkciji. Poleg tega se v katerem koli obroču konvergira absolutno in enakomerno. Primer 1. Določite območje konvergence rad Laurentove serije Izolirane singularne točke in njihova klasifikacija M Območje konvergence prve vrstice je zunanja stran kroga, območje konvergence druge vrstice pa je znotraj kroga torej, ta serija konvergira v krogu. Izrek 15. Vsako funkcijo f(z), enovrednostno in apolitično v krožnem obroču, lahko v tem obroču predstavimo kot vsoto konvergentnega niza, katerega koeficienti Cn so enolično določeni in izračunani glede na formule kjer je 7p krog s polmerom m. Fiksiramo R znotraj poljubne točke z obroča. Konstruirajmo kroge s središči v točki r, katerih polmeri zadoščajo neenačbam, in obravnavamo nov obroč. Z uporabo Cauchyjevega integralskega izreka za večpovezano področje transformiramo vsakega izmed integralov v vsoti (8). Za vse točke £ vzdolž kroga 7d* je izpolnjeno razmerje vsote enakomerno konvergentnega niza 1 1. Zato lahko ulomek ^ predstavimo v vi- / "/ tako, da pomnožimo oba dela z zvezno funkcijo (O in izvedemo. počlenno integracijo vzdolž kroga dobimo, da izvedemo transformacijo drugega integrala na nekoliko drugačen način. Za vse točke £ na krogu velja torej razmerje ^ kot vsoto enakomerno konvergentne vrste. Če oba dela pomnožimo z zvezno funkcijo) in člensko integriramo vzdolž kroga 7/, dobimo, da sta integranda v formulah (10) in (12) analitični funkciji v krožnem obroču. Zato se po Cauchyjevem izreku vrednosti ustreznih integralov ne bodo spremenile, če zamenjamo kroge 7/r in 7r/ s poljubnim krogom. To nam omogoča kombiniranje formul (10) in (12) , zamenjava integralov na desno stran formule (8) z izrazoma (9) oziroma (11), dobimo zahtevano razširitev. Ker je z poljubna točka obroča, sledi, da vrsta (14) konvergira k funkciji f(. z) povsod v tem obroču in v kateremkoli obroču serija absolutno in enakomerno konvergira k tej funkciji. Dokažimo zdaj, da je razpad oblike (6) edinstven. Predpostavimo, da obstaja še ena ekspanzija. Potem bomo povsod znotraj obroča R imeli Na krožnici serije (15) enakomerno konvergirajo. Pomnožimo obe strani enakosti (kjer je m fiksno celo število in integriramo obe seriji člen za členom. Posledično dobimo na levi strani in na desni - St. Tako je (4, = St. Ker m je poljubno število, zadnja enakost dokazuje edinstvenost raztezanja (6), katerega koeficienti so izračunani po formulah (7), se imenuje Laurentov niz funkcije f(z) v obroču niz členov te serije z nenegativnimi potencami se imenuje pravilni del Laurentove serije, z negativnimi pa njen glavni del. Formule (. 7) za koeficiente Laurentove serije se v praksi redko uporabljajo, ker praviloma zahtevajo okorne izračune. Običajno se, če je mogoče, uporabljajo že pripravljene Taylorjeve razširitve elementarne funkcije. Glede na edinstvenost razgradnje vsaka pravna metoda vodi do enakega rezultata. Primer 2. Razmislite o Laurentovih vrstah razširitev funkcij na različnih področjih, ob predpostavki, da ima Fuiscia /(r) dve singularni točki: . Posledično obstajajo tri obročasta območja s središčem v točki r = 0. V vsakem od njih je funkcija /(r) analitična: a) krog je obroč, zunanjost kroga (slika 27). Poiščimo Laurentove ekspanzije funkcije /(z) v vsakem od teh območij. Predstavimo /(z) kot vsoto elementarnih ulomkov a) Relacijo (16) pretvorimo takole. Z uporabo formule za vsoto členov geometrijske progresije dobimo najdene razširitve v formulo (17). : Ta razširitev je Taylorjev niz funkcije /(z). b) Obroč za funkcijo -r ostane v tem obroču konvergenten, saj niz (19) za funkcijo j^j za |z| > 1 se razhaja. Zato transformiramo funkcijo /(z) na naslednji način: ponovno uporabimo formulo (19), dobimo, da Ta vrsta konvergira za. Če razširitvi (18) in (21) nadomestimo relacijo (20), dobimo c) Zunanjost kroga za funkcijo -z za |z| > 2 divergira in serija (21) za funkcijo- Predstavimo funkcijo f(z) v naslednji obliki: / Z uporabo formul (18) in (19) dobimo ALI 1 Ta primer kaže, da za isto funkcijo f(z ) ima Laurentova ekspanzija na splošno drugačne vrste za različne prstane. Primer 3. Poiščite razširitev 8. Laurentove vrste funkcije Laurentove vrste Izolirane singularne točke in njihova klasifikacija v obročni domeni A Uporabimo predstavitev funkcije f(z) v naslednji obliki: in transformiramo drugi člen z uporabo formulo za vsoto členov geometrijske progresije, dobimo Če nadomestimo najdene izraze v formulo (22), imamo Primer 4. Razširimo funkcijo v nizu Laurent v točki zq = 0. Za vsak kompleks imamo Put This razširitev velja za poljubno točko z Ф 0. In v tem primeru obročasto območje predstavlja celotno kompleksno ravnino z eno izločeno točko z - 0. To območje je mogoče definirati z naslednjo relacijo: Ta funkcija je analitična v območju Iz formul (13) za koeficiente Laurentove vrste z uporabo istega tako kot v prejšnjem odstavku, lahko dobimo neenakosti Kouiw. če je funkcija f(z) omejena na krog, kjer je M konstanta), potem Izolirane singularne točke Točka zo se imenuje izolirana singularna točka funkcije f(z), če obstaja obročna soseska točke ( to množico včasih imenujemo preluknjana okolica točke 2o), v kateri je funkcija f(z) edinstvena in analitična. V sami točki zo je funkcija bodisi nedefinirana bodisi ni enoznačna in analitična. Glede na obnašanje funkcije /(r) pri približevanju točki zo ločimo tri vrste singularnih točk. Za izolirano singularno točko pravimo, da je: 1) odstranljiva, če obstaja končna 2) pymusach, če 3) je v bistvu singularna točka, če funkcija f(z) nima omejitve pri Tip izolirane singularne točke je tesno povezan z narava Laurentove razširitve funkcije s preluknjanim središčem . Izrek 16. Izolirana singularna točka z0 funkcije f(z) je odstranljiva singularna točka, če in samo če Laurentova ekspanzija funkcije f(z) v okolici točke zo ne vsebuje glavnega dela, tj. ima obliko Naj bo zo odstranljiva singularna točka. Potem obstaja končna, torej je funkcija f(z) omejena v prokološki okolici točke z. Na podlagi Cauchyjevih neenakosti postavimo, da je p lahko poljubno majhen, potem so vsi koeficienti pri negativnih potencah (z. - 20) so enake nič: Nasprotno pa naj Laurentova razširitev funkcije /(r) v okolico točke zq vsebuje le pravilen del, to je, da ima obliko (23) in je torej Taylor. Lahko vidimo, da ima za z -* z0 funkcija /(z) mejno vrednost: Izrek 17. Izolirana singularna točka zq funkcije f(z) je odstranljiva, če in samo če je funkcija J(z) omejeno v neki preluknjani okolici točke zq, Zgmechai ne. Naj bo r odstranljiva singularna točka funkcije /(r). Ob predpostavki, da dobimo, da je funkcija /(r) analitična v nekem krogu s središčem v točki r. To določa ime točke - odstranljiva. e. oblika 4 Naj bo z0 pol. Od takrat obstaja preluknjana okolica točke z0, v kateri je funkcija f(z) analitična in različna od nič. Potem je v tej okolici definirana analitična funkcija in je torej točka zq odstranljiva singularna točka (ničla) funkcije ali kjer je h(z) analitična funkcija, h(z0) Φ 0. Potem je h(zo) Φ 0 je prav tako analitična, potem je funkcija φ analitična v okolici točke zq in torej, od koder dobimo, da Recimo zdaj, da ima funkcija f(z) razširitev oblike (24) v preluknjani okolici točke točka zо. To pomeni, da je v tej okolici funkcija f(z) analitična skupaj s funkcijo. Za funkcijo g(z) velja razširitev, iz katere je razvidno, da je zq odstranljiva singularna točka funkcije g(z) in obstaja pri 0. Tam teži je še eno preprosto dejstvo. Točka Zq je pol funkcije f(z), če in samo če lahko funkcijo g(z) = yj razširimo na analitično funkcijo v okolici točke zq z nastavitvijo g(z0) = 0. Vrstni red pola funkcije f(z) imenujemo ničelni red funkcije jfa. Naslednja izjava izhaja iz izrekov 16 in 18. Izrek 19. Izolirana singularna točka je v bistvu singularna, če in samo če glavni del Laurentove ekspanzije v preluknjani okolici te točke vsebuje neskončno veliko členov, ki niso nič. Primer 5. Singularna točka funkcije je zo = 0. Imamo Laurentove serije. Izolirane singularne točke in njihova klasifikacija. Zato je zo = O odstranljiva singularna točka. Razširitev funkcije /(z) v Laurentov niz v okolici ničelne točke vsebuje le pravilen del: Primer7. /(z) = Singularna točka funkcije f(z) je zq = 0. Oglejmo si obnašanje te funkcije na realni in imaginarni osi: na realni osi pri x 0, na imaginarni osi. Posledično obstaja ni niti končna niti neskončna meja za f(z) pri z -* 0 ne obstaja. To pomeni, da je točka r = 0 v bistvu singularna točka funkcije f(z). Poiščimo Laurentovo raztezanje funkcije f(z) v okolici ničelne točke. Za vsak kompleks C imamo Set. Nato Laurentova razširitev vsebuje neskončno število členov z negativnimi potencami z.

Če ima funkcija f(x) odvode vseh vrst na določenem intervalu, ki vsebuje točko a, potem lahko zanjo uporabimo Taylorjevo formulo:
,
kje r n– tako imenovani preostali člen ali ostanek serije, ga je mogoče oceniti z uporabo Lagrangeove formule:
, kjer je število x med x in a.

f(x)=

v točki x 0 = število elementov vrstice 3 4 5 6 7

Pravila za vnos funkcij:

Če za neko vrednost X r n→0 pri n→∞, potem v limiti Taylorjeva formula postane konvergentna za to vrednost Serija Taylor:
,
Tako lahko funkcijo f(x) razširimo v Taylorjev niz v obravnavani točki x, če:
1) ima izpeljanke vseh vrst;
2) konstruirana vrsta konvergira v tej točki.

Ko je a = 0, dobimo vrsto, imenovano Maclaurinova serija:
,
Razširitev najenostavnejših (elementarnih) funkcij v seriji Maclaurin:
Eksponentne funkcije
, R=∞
Trigonometrične funkcije
, R=∞
, R=∞
, (-π/2< x < π/2), R=π/2
Funkcija actgx se ne razteza po potencah x, ker ctg0=∞
Hiperbolične funkcije


Logaritemske funkcije
, -1 |C - Zq in zato se vrste v (25.5) razhajajo. Imamo

Če ponovno uporabimo formulo (22.C), dobimo

Za vse C € G2 so enakosti izpolnjene

Od serije qi n konvergira, potem na podlagi enotnega kriterija

Weierstrassova konvergenca (izrek 20.2) serija na desni strani (25.8) konvergira na G O absolutno in enakomerno v spremenljivki?. Primerno je, da to serijo prepišemo v nekoliko drugačni obliki z uvedbo novega indeksa seštevka Za enakost Za = -p- 1, tj. n = -Za - 1. Kdaj n ima vrednosti 0,1,2,..., indeks Za poteka skozi vrednosti -1, -2, -3____

Enakosti (25.9) pomnožimo s f(Q(kar ne bo motilo uniforme

konvergenco vrste v (25.9) na krogu Γr) in integriraj člen za členom vzdolž Γr:

Kazalo Za v formulah (25.10), (25.11) se lahko nadomesti s katero koli drugo črko; zlasti ga lahko zopet označimo z n, kjer n= - 1,- 2,... Če razširitvi (25.6) in (25.10) nadomestimo v (25.4), pridemo do enakosti (25.2). funkcija. je analitičen

(Z - zo)n+l

v obroču g g 0 p, tako da r potem lahko oba kroga Ti in Gg nadomestimo s krogom |С - zq = р. V tem primeru bosta enakosti (25.7) in (25.11) zapisane z eno samo formulo (25.3). Izrek 25.3 je dokazan.

Niz (25.2) v celih potencah (z- -th) (pozitivna in negativna), katerih koeficienti so določeni z obliko -

lam (25,3), se imenuje poleg Laurenta funkcije f(z). Vrsti ^2 c n (z -

n=0

• - Zo)n klical desni del, in serija c n (z - zq) u (piši

tudi c n( z - z o) n) - glavni del Serija Laurent (razumno

Natančna narava imen bo jasna kasneje).

Preidimo zdaj k vprašanju edinstvenosti ekspanzije (25.2).

Izrek 25.2 (izrek o edinstvenosti za razširitev funkcije v Laurentovo vrsto). Pustite nekaj prstana V= (g z - zo (25.2). Potem je f(z) je

analitična funkcija v V in koeficienti z n, n = 0, ±1, ±2.... ekspanzije so enolično določene s formulami, (25.3).

Dokaz. Ker glede na pogoje izreka vrsta (25.2) konvergira v V, nato oba niza konvergirata na desni strani (25.1), sestave

ležeča serija (25.2). Prva je vrsta Y1 °n(z ~ z o) n ~ je

navaden potenčni niz, ki konvergira v določenem krogu s središčem Zo in se razhajajo zunaj tega kroga. Ker se ta serija zbližuje V, nato cel prstan V leži v krogu konvergence. Od zneska

potenčna vrsta je analitična v konvergenčnem krogu (lastnost 21.6), potem

serija vsote Si (.g). c n (z - zq) h je analitičen v V. Po lastnosti 21.5,

ta niz enakomerno konvergira v kateremkoli krogu z- zq R"

ampak številka c n(z - zo) n - Spremenimo spremenljivke tako, da postavimo Z=

=-, Za= - n. Potem bo obravnavana serija dobila obliko V C-uZ k. to

z ~ z o k=l

serija je potenčna vrsta glede na spremenljivko Z s center Zo= 0: konvergira v nekem krogu z R "o ta niz enakomerno konvergira (lastnost 21.5). Vrnimo se zdaj k spremenljivki z. Nato obkrožite

/?o bo šel v niz --- z - zo >1 /Ro, tiste. v zunanjost kroga s središčem zq s polmerom 1/Lo- Torej serija

^2 c n (z -Zo)n konvergira pri |z - Zo > l/Ro na analitično funkcijo n=-1

5-2(g) in se razlikuje pri z - zo 1 /Rq. Ker se ta serija zbližuje V, nato cel prstan V leži v konvergenčnem območju z-Zo > 1/Yao te vrstice. Hkrati pa na območju z- zo > 1 //?o s N® Ampak konvergenca bo enakomerna. Zlasti rad enakomerno konvergira pri |z - zo > g«, če g" > G.

Torej se oba niza na desni strani (25.1) stekata v obroču V in njuni vsoti Si(z) in S-j(z) sta analitični v V. Torej funkcija f(z) = Si (z) + 4* S-z(z) analitični in V.

Pokažimo, da so koeficienti s p razširitve so enolično določene s formulami (25.3). Vzemimo krog G = (z - zo= /?), kje d Poberimo številke G" in R" tako da d Obe vrstici na desni strani (25.1) enakomerno konvergirata v obroču V= = (z; z - Zo R 1 )- To pomeni vrstico

enakomerno konvergira v njej. Ta lastnost bo ostala po množenju obeh strani s poljubno potenco (z - zo)~ n ~ l, n = О, ±1, ±2_____, ker je vsaka od teh stopinj funkcija meje

cenjen v V(glej opombo 20.5):

Na podlagi izreka 20.4 je mogoče dobljeno vrsto integrirati člen za členom vzdolž Γ:

Uporabimo sedaj enakost (15.7):

po katerem so vsi integrali na levi strani (25.12) enaki nič, razen enega, za katerega k - p - 1 = - 1 (tj. Za = yy) in ki je enak 2tgg. Zato v vsoti iz (25.12) ostane samo en člen pri k = n, in dobimo

kar je enako enakosti (25.3). Izrek 25.2 je dokazan.

V dokazu izreka 25.2 smo ugotovili, da se vrsta (25.2) reducira na unijo dveh potenčnih vrst, od katerih ena konvergira znotraj kroga s središčem zq, druga pa zunaj kroga manjšega polmera z istim središčem (če polmer drugega kroga večji, potem bi bila konvergenčna množica nizov (25.2) prazna). Označimo polmere teh krožnic R in g(tukaj ni navedeno, da te številke sovpadajo z zunanjim in notranjim polmerom obroča V v izrekih 25.1, 25.2). Iz tega in iz lastnosti potenčnih vrst (glej §21) sledijo naslednje lastnosti vrst (25.2).

Nepremičnina 25.3. Konvergenčna množica vrste (25.2) je prstan V= (z z - zq R) z možnim dodatkom nekaterih ali vseh točk na njegovi meji. V tem primeru so možni primeri r = 0 in R = oo.

Nepremičnina 25.4. vsota 5 (g) vrstica (25.2) je analitična funkcija znotraj obroča V.

Nepremičnina 25.5. Vrsti (25.2) lahko integriramo in diferenciramo člen za členom znotraj obroča V poljubno število jhm. Nastali nizi imajo enak konvergenčni obroč V, Kaj

in originalna serija (25.2); Konvergenca na mejnih točkah morda ne bo ohranjena.

Nepremičnina 25.6. Če je V = (g Zo je konvergenčni obroč Laurentove vrste funkcije f(z) in 0

Dokaz. Laurentova serija funkcij/ (z) tam je združeno oo 1

kombinacija dveh potenčnih vrst °n(z ~ z o) n in c_*Z*, kjer Z =-.

n=0 k-z-Z0

Konvergenčni krogi teh nizov so z- 2o| R in z - zo = R in = 1/g (tj. z - zo = g) obstajajo singularne točke

funkcije Si(z) = c n(z - Zq) u in S-2 (z) = Cn(z-z 0) n temu primerno

pravzaprav. Posledično ti krogi vsebujejo singularne točke funkcije f(z)= Si (g) + S-2 (z), Q.E.D.

Za iskanje Laurentovih vrstnih razširitev se pogosto uporabljajo iste tehnike kot za Taylorjeve vrstne razširitve, in sicer substitucijska metoda, integracija po členih in diferenciacija vrst itd.

Primer 25.7. Poiščite vse Laurentove razširitve funkcije

/( g) = f v potencah (z - 1).

" z(z - 1)

rešitev. Naredimo spremembo spremenljivke: w = z- 1, tj. z = w +

1. Po opravljeni zamenjavi dobimo funkcijo r/(rc) = .

w. . enkrat-(š

+ 1)wj

kje dobljeni ulomek vstavimo v vsoto najpreprostejših ulomkov (več o razširitvi v vsoto najpreprostejših ulomkov glej §32. Razširitev bomo iskali v obrazcu). in A D

številke, ki jih poskušate najti. V ta namen spravimo ulomke na desni na skupni imenovalec: Iz tega sledi + 1) + w + 2 = A(w Bw, w in enakost velja za vse vrednosti , vključno z w = , vključno z 0 in - 1 (to izhaja iz kontinuitete leve in desni deli , vključno z ta enakost). pri dobljeni ulomek vstavimo v vsoto najpreprostejših ulomkov (več o razširitvi v vsoto najpreprostejših ulomkov glej §32. Razširitev bomo iskali v obrazcu). 0 dobimo 2 = .4, tj. , vključno z= 2; nadomeščanje -1, imamo 1= -B, tiste. IN

= - 1. Tako je , vključno z 0, Ta funkcija ima singularne točke w = -

1 in zato apolitičen v obročih V’i = (0 w pri w> 1 nastala serija preneha konvergirati. Zato razširite funkcijo g (w) v ringu 2 U

ulomek je treba pretvoriti:

Ko |w| > 1 bo - z namesto daj noter l/t.

Z izvajanjem navedenih zamenjav dobimo (naredili smo zamenjavo+ 1) in uporabil enakost (- 1)* = (-I) - *). Vrnitev k spremenljivki z-w+ 1, dobimo zahtevane razširitve funkcije f(z):

novi član - - (vsi drugi koeficienti glavnega dela so enaki

smo nič), niz v (25.13) pa daje pravilen del razširitve. Pri 1 z - 1| z - 1| = 0 s polmerom 0u|r-1| = 1 s polmerom 1) vsebujejo singularne točke funkcije f(z).

Kako vstaviti matematične formule na spletno stran?

Če boste kdaj morali na spletno stran dodati eno ali dve matematični formuli, potem je to najlažji način, kot je opisano v članku: matematične formule se enostavno vstavijo na spletno mesto v obliki slik, ki jih samodejno ustvari Wolfram Alpha. . Poleg preprostosti, to univerzalna metoda bo pomagal izboljšati vidnost spletne strani iskalniki. Deluje že dolgo (in mislim, da bo deloval večno), vendar je že moralno zastarel.

Če na svojem spletnem mestu redno uporabljate matematične formule, priporočam, da uporabite MathJax – posebno knjižnico JavaScript, ki prikazuje matematični zapis v spletnih brskalnikih z uporabo oznak MathML, LaTeX ali ASCIIMathML.

MathJax lahko začnete uporabljati na dva načina: (1) s preprosto kodo lahko hitro povežete skript MathJax s svojim spletnim mestom, ki bo v pravi trenutek samodejno nalaganje z oddaljenega strežnika (seznam strežnikov); (2) prenesite skript MathJax z oddaljenega strežnika na svoj strežnik in ga povežite z vsemi stranmi vašega spletnega mesta. Druga metoda - bolj zapletena in dolgotrajna - bo pospešila nalaganje strani vašega spletnega mesta in če nadrejeni strežnik MathJax iz nekega razloga postane začasno nedosegljiv, to na noben način ne bo vplivalo na vaše lastno spletno mesto. Kljub tem prednostim sem izbral prvo metodo, saj je preprostejša, hitrejša in ne zahteva tehničnega znanja. Sledite mojemu zgledu in v samo 5 minutah boste lahko uporabljali vse funkcije MathJaxa na svojem spletnem mestu.

Skript knjižnice MathJax lahko povežete z oddaljenega strežnika z uporabo dveh možnosti kode, vzetih z glavnega spletnega mesta MathJax ali na strani z dokumentacijo:

Eno od teh možnosti kode je treba kopirati in prilepiti v kodo vaše spletne strani, po možnosti med oznakami in ali takoj za oznako. Po prvi možnosti se MathJax naloži hitreje in manj upočasni stran. Toda druga možnost samodejno spremlja in nalaga najnovejše različice MathJaxa. Če vstavite prvo kodo, jo bo treba občasno posodobiti. Če vstavite drugo kodo, se bodo strani nalagale počasneje, vendar vam ne bo treba stalno spremljati posodobitev MathJax.

MathJax najlažje povežete v Bloggerju ali WordPressu: na nadzorni plošči spletnega mesta dodajte gradnik, namenjen vstavljanju kode JavaScript tretje osebe, vanj kopirajte prvo ali drugo različico zgoraj predstavljene kode za prenos in postavite gradnik bližje na začetek predloge (mimogrede, to sploh ni potrebno, saj se skript MathJax naloži asinhrono). To je vse. Zdaj se naučite označevalne sintakse MathML, LaTeX in ASCIIMathML in pripravljeni ste na vstavljanje matematičnih formul na spletne strani vašega mesta.

Vsak fraktal je zgrajen v skladu z določeno pravilo, ki se uporablja zaporedno neomejeno številokrat. Vsak tak čas se imenuje ponovitev.

Iterativni algoritem za izdelavo Mengerjeve gobe je precej preprost: originalna kocka s stranico 1 je razdeljena z ravninami, vzporednimi z njenimi ploskvami, na 27 enakih kock. Iz nje se odstrani ena osrednja kocka in 6 kock, ki mejijo nanjo vzdolž ploskev. Rezultat je niz, sestavljen iz preostalih 20 manjših kock. Če enako naredimo z vsako od teh kock, dobimo niz, sestavljen iz 400 manjših kock. Če ta postopek nadaljujemo v nedogled, dobimo gobo Menger.