Pretvorba energije med harmoničnimi nihanji povzetek.

otekanje Matematično nihalo je materialna točka, ki visi na breztežnostni in neraztegljivi niti, ki se nahaja v gravitacijskem polju Zemlje. Matematično nihalo je idealiziran model, ki pravilno opiše pravo nihalo le pod določenimi pogoji.

Pravo nihalo se lahko šteje za matematično, če je dolžina niti veliko večja od velikosti telesa, ki visi na njej, masa niti je zanemarljiva v primerjavi z maso telesa in so deformacije niti tako majhne da jih je mogoče povsem zanemariti.

Nihajni sistem v tem primeru tvorijo nit, nanjo pritrjeno telo in Zemlja, brez katere ta sistem ne bi mogel služiti kot nihalo. kje A – X pospešek, g A– pospeševanje prostega pada, - premik, l

– dolžina niti nihala. Ta enačba se imenuje enačba prostih nihanj matematičnega nihala.

Pravilno opisuje zadevne vibracije le, če so izpolnjene naslednje predpostavke:

2) upoštevana so le majhna nihanja nihala z majhnim kotom nihanja.

Proste vibracije katerega koli sistema so v vseh primerih opisane s podobnimi enačbami.

Vzroki za prosta nihanja matematičnega nihala so:

1. Delovanje napetosti in gravitacije na nihalo, ki preprečuje, da bi se premaknilo iz ravnotežnega položaja in ga prisili, da ponovno pade.

2. Vztrajnost nihala, zaradi katere se ob ohranjanju hitrosti ne ustavi v ravnotežnem položaju, ampak gre skozi njega naprej.

Perioda prostih nihanj matematičnega nihala

Perioda prostih nihanj matematičnega nihala ni odvisna od njegove mase, ampak je določena le z dolžino niti in gravitacijskim pospeškom na mestu, kjer se nahaja nihalo.

Pretvorba energije med harmoničnimi nihanji Pri harmoničnem nihanju vzmetnega nihala se potencialna energija elastično deformiranega telesa pretvori v njegovo kinetično energijo, kjer – k koeficient elastičnosti, X - modul odmika nihala iz ravnotežnega položaja, m - masa nihala, v

, .

- njegova hitrost. Glede na enačbo harmoničnih vibracij:

.

Skupna energija vzmetnega nihala:

Skupna energija za matematično nihalo:

V primeru matematičnega nihala ). Ko se nihalo premakne navzdol ali navzgor iz ravnotežnega položaja, se njegova potencialna energija poveča, kinetična energija pa zmanjša. Ko nihalo prečka ravnotežni položaj ( A= 0), je njegova potencialna energija enaka nič, kinetična energija nihala pa ima največjo vrednost, ki je enaka njegovi celotni energiji.

Tako se v procesu prostih nihanj nihala njegova potencialna energija spremeni v kinetično, kinetična v potencialno, potencialna nato spet v kinetično itd. Celotna mehanska energija pa ostane nespremenjena.

Prisilne vibracije. Resonanca.

Imenujejo se nihanja, ki nastanejo pod vplivom zunanje periodične sile prisilna nihanja. Zunanja periodična sila, imenovana gonilna sila, daje oscilacijskemu sistemu dodatno energijo, ki se porabi za dopolnitev izgub energije, ki nastanejo zaradi trenja. Če se gonilna sila skozi čas spreminja po zakonu sinusa ali kosinusa, bodo prisilna nihanja harmonična in nedušena.

Za razliko od prostih nihanj, ko sistem prejme energijo samo enkrat (ko je sistem spravljen iz ravnovesja), pri prisilnih nihanjih sistem to energijo neprekinjeno absorbira iz vira zunanje periodične sile. Ta energija nadomesti izgube, porabljene za premagovanje trenja, zato skupna energija nihajnega sistema ostane nespremenjena.

Frekvenca prisilnih nihanj je enaka frekvenci pogonske sile. V primeru, da je frekvenca pogonske sile υ sovpada z lastno frekvenco nihajnega sistema υ 0 , močno se poveča amplituda prisilnih nihanj - resonanca. Resonanca nastane zaradi tega, ko υ = υ 0 zunanja sila, ki deluje sočasno s prostimi nihaji, je vedno usklajena s hitrostjo nihajnega telesa in opravlja pozitivno delo: energija nihajnega telesa se poveča, amplituda njegovih nihajev pa postane velika. Graf amplitude prisilnih nihanj A T na frekvenco pogonske sile υ prikazan na sliki, se ta graf imenuje resonančna krivulja:

Pojav resonance ima pomembno vlogo v številnih naravnih, znanstvenih in industrijskih procesih. Na primer, pri načrtovanju mostov, zgradb in drugih konstrukcij, ki pod obremenitvijo doživljajo tresljaje, je treba upoštevati pojav resonance, sicer se lahko pod določenimi pogoji te strukture uničijo.

Mehanska nihanja so gibi telesa, ki se ponavljajo natančno ali približno v enakih časovnih intervalih. Glavne značilnosti mehanskih vibracij so: premik, amplituda, frekvenca, perioda. Premik je odstopanje telesa od njegovega ravnotežnega položaja. Amplituda je modul največjega odstopanja od ravnotežnega položaja. Frekvenca je število popolnih nihanj, opravljenih na časovno enoto. Perioda je čas enega popolnega nihanja, to je minimalno časovno obdobje, v katerem se proces ponavlja. Perioda in frekvenca sta povezani z razmerjem: v = 1/T. Najenostavnejša vrsta nihanja so harmonična nihanja, pri katerih se nihajna veličina v času spreminja po sinusnem ali kosinusnem zakonu (slika 9). Proste vibracije so tiste, ki nastanejo zaradi prvotno posredovane energije in posledično odsotnosti zunanjih vplivov na sistem, ki izvaja vibracije. Na primer, vibracije tovora na niti (slika 10). Razmislimo o procesu pretvorbe energije na primeru nihanja tovora na niti (glej sliko 10). Ko nihalo odstopi od ravnotežnega položaja, se dvigne na višino h glede na ničelno raven, zato je v točki A nihalo
ima potencialno energijo mgh. Pri premiku v ravnotežni položaj, v točko O, se višina zmanjša na nič, hitrost bremena pa se poveča, v točki O pa se bo vsa potencialna energija mgh spremenila v kinetično energijo mv^2/2. V ravnovesju je kinetična energija največja, potencialna energija pa najmanjša. Po prehodu ravnotežnega položaja se kinetična energija pretvori v potencialno, hitrost nihala se zmanjša in pri največjem odstopanju od ravnotežnega položaja postane enaka nič. Z oscilacijskim gibanjem se vedno pojavljajo periodične transformacije njegove kinetične in potencialne energije.
Pri prostih mehanskih vibracijah neizogibno pride do izgube energije zaradi premagovanja uporovnih sil. Če se nihanja pojavijo pod vplivom periodične zunanje sile, se taka nihanja imenujejo prisilna. Starši na primer gugajo otroka na gugalnici, v valju avtomobilskega motorja se premika bat, vibrirata brivnik in igla šivalnega stroja. Narava prisilnih nihanj je odvisna od narave delovanja zunanje sile, od njene velikosti, smeri, frekvence delovanja in ni odvisna od velikosti in lastnosti nihajočega telesa. Na primer, temelj motorja, na katerega je pritrjen, izvaja prisilna nihanja s frekvenco, ki je določena le s številom vrtljajev motorja in ni odvisna od velikosti temelja.

Ko frekvenca zunanje sile in frekvenca lastnih vibracij telesa sovpadata, se amplituda vsiljenih vibracij močno poveča. Ta pojav imenujemo mehanska resonanca. Grafično je odvisnost amplitude prisilnih nihanj od frekvence zunanje sile prikazana na sliki 11.
Pojav resonance lahko povzroči uničenje avtomobilov, zgradb, mostov, če njihove naravne frekvence sovpadajo s frekvenco periodično delujoče sile. Zato so na primer motorji v avtomobilih nameščeni na posebne amortizerje, vojaškim enotam pa je prepovedano slediti tempu, ko se premikajo po mostu.
V odsotnosti trenja bi morala amplituda prisilnih nihanj med resonanco s časom neomejeno naraščati. V realnih sistemih je amplituda v ustaljenem stanju resonance določena s pogojem izgube energije v obdobju in delom zunanje sile v istem času. Manj kot je trenje, večja je amplituda pri resonanci.

Sčasoma se spreminja po sinusnem zakonu:

Nihajni sistem v tem primeru tvorijo nit, nanjo pritrjeno telo in Zemlja, brez katere ta sistem ne bi mogel služiti kot nihalo. A- vrednost nihajoče količine v trenutku t, A- amplituda, ω - krožna frekvenca, φ — začetna faza nihanj, ( φt + φ ) - polna faza nihanj. Hkrati pa vrednote A, ω in φ - trajno.

Za mehanske vibracije nihajoče velikosti A so zlasti premik in hitrost, za električne vibracije - napetost in tok.

Harmonična nihanja zavzemajo posebno mesto med vsemi vrstami nihanj, saj je to edina vrsta nihanj, katerih oblika se ne popači pri prehodu skozi kateri koli homogeni medij, to pomeni, da bodo valovi, ki se širijo iz vira harmoničnih nihanj, tudi harmonični. Vsako neharmonično nihanje lahko predstavimo kot vsoto (integral) različnih harmoničnih nihanj (v obliki spektra harmoničnih nihanj).

Transformacije energije med harmoničnimi vibracijami.

Med procesom nihanja pride do prenosa potencialne energije Wp na kinetično Td in obratno. V položaju največjega odstopanja od ravnotežnega položaja je potencialna energija največja, kinetična energija pa nič. Ko se vrača v ravnotežni položaj, se hitrost nihajnega telesa povečuje, s tem pa se povečuje tudi kinetična energija, ki v ravnotežnem položaju doseže največ. Potencialna energija pade na nič. Nadaljnje gibanje poteka z zmanjšanjem hitrosti, ki pade na nič, ko odklon doseže svoj drugi maksimum. Potencialna energija se tu poveča na začetno (največjo) vrednost (brez trenja). Tako se nihanja kinetične in potencialne energije pojavljajo z dvojno frekvenco (v primerjavi z nihanji samega nihala) in so v protifazi (tj. med njima je fazni zamik enak π ). Skupna energija vibracij W ostane nespremenjena. Za telo, ki niha pod vplivom prožnostne sile, je enako:

Nihajni sistem v tem primeru tvorijo nit, nanjo pritrjeno telo in Zemlja, brez katere ta sistem ne bi mogel služiti kot nihalo. v m— največja hitrost telesa (v ravnotežnem položaju), x m = A- amplituda.

Zaradi prisotnosti trenja in upora medija proste vibracije oslabijo: njihova energija in amplituda se sčasoma zmanjšata. Zato se v praksi pogosteje uporabljajo prisilna nihanja kot prosta.

Oglejmo si proces pretvorbe energije med harmoničnim nihanjem na primeru ideala (F tr =0) vodoravno vzmetno nihalo. S premikanjem telesa iz ravnotežnega položaja, na primer s stiskanjem vzmeti x=A, damo mu določeno rezervo potencialne energije \(~W_(n_(0)) = \frac(kA^2)(2)\) (izberemo vodoravno raven, na kateri se nahaja nihalo, kot ničelno raven za referenca potencialne energije nihala v gravitacijskem polju, potem je W p = 0). Ko se telo premakne v ravnotežni položaj, se njegova potencialna energija \(W_n = \frac(kx^2)(2)\) zmanjša, njegova kinetična energija \(W_k = \frac(m \upsilon^2)(2) \) narašča, torej, kako se deformacija vzmeti zmanjša in hitrost telesa poveča. V trenutku, ko gre telo skozi ravnotežni položaj, je njegova potencialna energija enaka nič, njegova kinetična energija \(W_(k_(0))=\frac(m \upsilon^2_max)(2)\) pa največja. Po prehodu skozi ravnotežni položaj se hitrost telesa zmanjša in vzmet se raztegne. Posledično se kinetična energija telesa zmanjša, potencialna pa poveča. V točki največjega odklona telesa je njegova kinetična energija enaka nič, potencialna energija pa največja. Tako med nihanjem občasno prihaja do prehoda potencialne energije v kinetično energijo in obratno. Celotna mehanska energija vzmetnega nihala je enaka vsoti njegove kinetične in potencialne energije \(W = W_k + W_n.\)

Če se premik materialne točke, ki izvaja harmonična nihanja, s časom spreminja po zakonu \(~x = A \cos \omega t,\), potem je projekcija hitrosti na os A\(~\upsilon_x = -\omega A \sin \omega t\) (glejte § 13.2). Posledično je lahko kinetična energija kadar koli podana s funkcijo \(W_k = \frac(m \upsilon^2)(2) = \frac(m \omega^2 A^2 \sin^2 \omega t) (2 ) = \frac(m \omega^2 A^2)(4)(1- \cos 2 \omega t),\) in potencialna energija je funkcija \(W_n = \frac(k x^2)( 2) = \frac( k A^2 \cos^2 \omega t)(2) = \frac(m \omega^2 A^2)(4)(1+ \cos 2 \omega t) ,\) ker \ (\omega^2 = \frac(k)(m)\), potem \(~k = m \omega^2.\)

Skupna energija \(W = \frac(m \omega^2 A^2 \sin^2 \omega t)(2) + \frac(m \omega^2 A^2 \cos^2 \omega t)(2 ) = \frac(m \omega^2 A^2)(2) = \frac(kA^2)(2).\)

Iz teh formul je razvidno, da W do in W str prav tako spreminjajo po harmoničnem zakonu z enako amplitudo \(\frac(m \omega^2 A^2)(4)\) ter v protifazi med seboj in s frekvenco \(~2 \omega\) (slika 13.13), skupna mehanska energija pa se s časom ne spreminja. Enaka je potencialni energiji telesa v trenutku največjega odklona ali njegovi kinetični energiji v trenutku prehoda ravnotežnega položaja:

\(W = \frac(kA^2)(2) = \frac(m \upsilon^2_m)(2) = \frac(m \omega^2 A^2)(2).\)

V realnih razmerah na nihalo vedno delujejo sile upora, zato skupna energija upada, prosta nihanja nihala pa s časom upadajo, tj. njihova amplituda se zmanjša na nič (slika 13.14).

Ko matematično nihalo niha, je celotna energija sistema sestavljena iz kinetične energije materialne točke (krogle) in potencialne energije materialne točke v polju gravitacijskih sil. Pri nihanju vzmetnega nihala je skupna energija sestavljena iz kinetične energije kroglice in potencialne energije elastične deformacije vzmeti:

Pri prehodu skozi ravnotežni položaj tako pri prvem kot pri drugem nihalu doseže kinetična energija kroglice največjo vrednost, potencialna energija sistema pa je enaka nič. Med nihanjem se pojavi periodična transformacija kinetične energije v potencialno energijo sistema; celotna energija sistema ostane nespremenjena, če ni uporovnih sil (zakon o ohranitvi mehanske energije). Na primer, za vzmetno nihalo lahko zapišemo:

V oscilacijskem krogu (slika 14.1.c) je skupna energija sistema vsota energije nabitega kondenzatorja (energija električnega polja) in energije tuljave s tokom (energija magnetnega polja. Ko se kondenzator napolni je največja, tok v tuljavi je enak nič (glej formuli 14.11 in 14.12 ), energija električnega polja kondenzatorja je največja, energija magnetnega polja tuljave je enaka nič V trenutku, ko je naboj kondenzatorja je nič, tok v tuljavi je največji, energija električnega polja kondenzatorja je enaka nič, energija magnetnega polja tuljave je največja v nihajnem krogu, energija električnega polja je periodično pretvori v energijo magnetnega polja; skupna energija sistema ostane nespremenjena, če ni aktivnega upora R. Lahko napišete:

. (14.15)

Če med procesom nihanja na matematično ali vzmetno nihalo delujejo zunanje sile upora in je v nihajnem krogu aktiven upor R, se bo energija nihanja in s tem amplituda nihanja zmanjšala. Takšna nihanja imenujemo dušena nihanja Slika 14.2 prikazuje graf nihanja vrednosti X v odvisnosti od časa.

§ 16. Izmenični električni tok.

Enosmerne vire že poznamo, vemo za kaj jih potrebujemo, poznamo zakonitosti enosmernega toka. Toda izmenični električni tok, ki se uporablja v vsakdanjem življenju, v proizvodnji in na drugih področjih človeške dejavnosti, ima veliko večji praktični pomen v našem življenju. Trenutna jakost in napetost izmeničnega toka (na primer v omrežju razsvetljave našega stanovanja) se s časom spreminjata po harmoničnem zakonu. Industrijska AC frekvenca – 50Hz. Viri izmeničnega toka se razlikujejo po svoji zasnovi in ​​značilnostih. Žični okvir, ki se vrti v konstantnem enakomernem magnetnem polju, lahko štejemo za najpreprostejši model generatorja izmeničnega toka. Na sliki 14.3 se okvir vrti okoli navpične osi OO, pravokotno na magnetne silnice, s konstantno kotno hitrostjo. Kotiček α med vektorjem in normalo se po zakonu spreminja magnetni pretok skozi površino S, omejen z okvirjem, se s časom spreminja, v okvirju se pojavi inducirana emf.